Funkcja tworząca momenty silni

W teorii prawdopodobieństwa i statystyce funkcja tworząca momenty silni rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej X o wartościach rzeczywistych jest zdefiniowana jako

$M_X(t)=\operatorname{E}\bigl[t^{X}\bigr]$

dla wszystkich liczb zespolonych t , dla których ta Wartość oczekiwana istnieje. Tak jest w przypadku co najmniej dla wszystkich t na okręgu jednostkowym $|t|=1$ , patrz funkcja charakterystyczna. Jeśli X jest dyskretną zmienną losową przyjmującą wartości jedynie ze zbioru {0,1, ...} nieujemnych liczb całkowitych, wtedy $M_X$ nazywana jest również funkcją tworzącą prawdopodobieństwa X i $M_X(t)$ jest dobrze zdefiniowaną co najmniej dla wszystkich t w zamkniętym jednostkowym dysku $|t|\le1$ .

Funkcja tworząca momenty silni tworzy momenty silni rozkładu prawdopodobieństwa. Pod warunkiem że $M_X$ istnieje w sąsiedztwie t = 1, n-ty moment silni jest dany przez

$\operatorname{E}[(X)_n]=M_X^{(n)}(1)=\left.\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}t^n}\right|_{t=1} M_X(t),$

gdzie symbol Pochhammera (x) n, oznacza silnię dolną

$(x)_n = x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1).\,$

(Należy uważać, ponieważ niektórzy matematycy, zwłaszcza w dziedzinie funkcji specjalnych używają tej samej notacji do reprezentowania silni górnej).

Przykład

Przyjmijmy że X ma Rozkład Poissona z wartością oczekiwaną λ, wtedy jej funkcja tworząca momenty silni jest

$M_X(t) =\sum_{k=0}^\infty t^k\underbrace{\operatorname{P}(X=k)}_{=\,\lambda^ke^{-\lambda}/k!} =e^{-\lambda}\sum_{k=0}^\infty \frac{(t\lambda)^k}{k!} = e^{\lambda(t-1)},\qquad t\in\mathbb{C},$

(korzystamy z definicji funkcji wykładniczej), a więc mamy

$\operatorname{E}[(X)_n]=\lambda^n.$

Zobacz też

• Moment (matematyka)
• Funkcja tworząca momenty
• Kumulanta