Funkcja tworząca prawdopodobieństwa

W teorii prawdopodobieństwa, funkcja tworząca prawdopodobieństwa dyskretnej zmiennej losowej jest przedstawieniem szeregu potęgowego (funkcji tworzącej) funkcji masy prawdopodobieństwa zmiennej losowej. Funkcje tworzące prawdopodobieństwa są często wykorzystywane ze względu na ich zwięzły opis sekwencji prawdopodobieństw Pr (X = i) w funkcji masy prawdopodobieństwa zmiennej losowej X oraz do udostępnienia dobrze rozwiniętej teorii szeregów potęgowych z nieujemnymi współczynnikami.

Definicja

Przypadek jednowymiarowy

Jeżeli X jest dyskretną zmienną losowa o wartościach ze zbioru nieujemnych liczb całkowitych {0,1 s, ...}, wtedy funkcja tworząca prawdopodobieństwo X jest zdefiniowana jako

$G(z) = \operatorname{E} (z^X) = \sum_{x=0}^{\infty}p(x)z^x,$

gdzie p jest funkcją masy prawdopodobieństwa X. Należy pamiętać, że indeksy oznaczenia G i P_X są często używane do podkreślenia, że te oznaczenia odnoszą się do konkretnej zmiennej losowej X, i do jej rozkładu. Szereg potęgowy jest zbieżny bezwzględnie co najmniej dla wszystkich liczb zespolonych z takich że | z | ≤ 1, w wielu przykładach promień zbieżności jest większy.

Przypadek wielowymiarowy

Jeśli X = (X₁,...,X_d ) jest dyskretną zmienną losową o wartościach w d-wymiarowej kracie nieujemnych liczb całkowitych {0,1, ...} ^d, wtedy funkcję tworząca prawdopodobieństwa X jest zdefiniowana jako

$G(z) = G(z_1,\ldots,z_d)=\operatorname{E}\bigl (z_1^{X_1}\cdots z_d^{X_d}\bigr) = \sum_{x_1,\ldots,x_d=0}^{\infty}p(x_1,\ldots,x_d)z_1^{x_1}\cdots z_d^{x_d},$

gdzie p jest funkcją masy prawdopodobieństwa X. Szereg potęgowy jest zbieżny bezwzględnie co najmniej na wszystkich złożonych wektorach z = (z₁,...,z_d ) ∈ ℂ^d z max{|z₁|,...,|z_d |} ≤ 1.

Właściwości

Szeregi potęgowe

Funkcje tworzące prawdopodobieństwo spełniają wzyszytkie warunki szeregów potęgowych o współczynnikach nieujemnych. W szczególności, G (1 ^-) = 1, gdzie G (1 ^-) = lim _{z → 1} G (z) od dołu, ponieważ prawdopodobieństwa muszą sumować się do jedynki. Tak więc promień zbieżności każdej funkcji tworzącej pradopodobieństwa musi być co najmniej 1, na mocy twierdzenia Abela dla szeregów potęgowych o nieujemnych współczynnikach.

Prawdopodobieństwa i oczekiwania

Następujące właściwości pozwalają na wyprowadzenie różnych podstawowych wielkości związanych z X:

1. Funkcja masy prawdopodobieństwa X jest odzyskiwana poprzez pochodne G

$p(k) = \operatorname{Pr}(X = k) = \frac{G^{(k)}(0)}{k!}.$

2. Z Własności 1 wynika, że jeśli zmienne losowe X i Y mają funkcje tworzące prawdopodobieństwa które są równe, G = G X Y, to X p p = _Y. To znaczy, że jeśli X i Y mają funkcje tworzące prawdopodobieństwa to mają identyczne rozkłady.

3. Normalizacja funkcji gęstości prawdopodobieństwa może być wyrażona w członach funkcji tworzącej, przez

$\operatorname{E}(1)=G(1^-)=\sum_{i=0}^\infty f(i)=1.$

Oczekiwanie X jest wyrażone przez

$\operatorname{E}\left(X\right) = G'(1^-).$

Bardziej ogólnie, k -ty moment silni E (X (X - 1) ... (X - k + 1)), X jest dany przez

$\textrm{E}\left(\frac{X!}{(X-k)!}\right) = G^{(k)}(1^-), \quad k \geq 0.$

Więc wariancja X jest wyrażona przez

$\operatorname{Var}(X)=G''(1^-) + G'(1^-) - \left [G'(1^-)\right ]^2.$

4.G X ( $e^{t}$ ) = M X (t), gdzie X jest zmienną losową, G (t) funkcją tworzącą prawdopodobieństwa a M (t) jest funkcją tworzącą momenty

Funkcje niezależnych zmiennych losowych

Funkcje tworzące prawdopodobieństwo są szczególnie przydatne przy zajmowaniu się funkcjami niezależnych zmiennych losowych. Na przykład:

• Jeśli X _1, X _2, ..., X _n jest ciągiem niezależnych (i niekoniecznie o identycznym rozkładzie) zmiennych losowych i

$S_n = \sum_{i=1}^n a_i X_i,$

gdzie a_i są stałymi, wtedy funkcja tworzaca prawdopodobieństwa jest dana przez

$G_{S_n}(z) = \operatorname{E}(z^{S_n}) = \operatorname{E}(z^{\sum_{i=1}^n a_i X_i,}) = G_{X_1}(z^{a_1})G_{X_2}(z^{a_2})\cdots G_{X_n}(z^{a_n}).$

Na przykład, jeśli

$S_n = \sum_{i=1}^n X_i,$

to funkcja tworząca prawdopodobieństwa G Sn (z), jest dana przez

$G_{S_n}(z) = G_{X_1}(z)G_{X_2}(z)\cdots G_{X_n}(z).$

Z powyższego wynika również, że funkcja tworząca prawdopodobieństwa różnicy dwóch niezależnych zmiennych losowych S = X₁ - X ₂ jest

$G_S(z) = G_{X_1}(z)G_{X_2}(1/z).$

• Przypuśćmy, że N jest także niezależną dyskretna zmienną losową o przyjmująca wartości nieujemnych liczb całkowitych, z funkcją tworzącą prawdopodobieństwaG _N. Jeśli x _1, x _2, ..., X _n są niezależnymi i i o identycznych rozkładach ze wspólną funkcją tworzącą prawdopodobieństwa G _X, wtedy

$G_{S_N}(z) = G_N(G_X(z)).$

Można to zobaczyć stosując twierdzenie o całkowitej wartości oczekiwanej, jak następuje:

$G_{S_N}(z) = \operatorname{E}(z^{S_N}) = \operatorname{E}(z^{\sum_{i=1}^N X_i}) = \operatorname{E}\big(\operatorname{E}(z^{\sum_{i=1}^N X_i}| N) \big) = \operatorname{E}\big( (G_X(z))^N\big) =G_N(G_X(z)).$

Ten ostatni fakt jest przydatny w badaniach procesu Galtona-Watsona.

• Przypuśćy znowu że N jest także niezależną, dyskretna zmienną losową o wartości ze zbioru nieujemnych liczb całkowitych, z funkcją tworzącą prawdopodobieństwa G _N. Jeżeli x _1, x _2, ..., X _n są niezależnymi zmiennymi losowymi ale nie o identycznych rozkładach, gdzie $G_{X_i}$ oznacza funkcję tworzącą prawdopodobieństwa $X_i$ , wtedy

$G_{S_N}(z) = \sum_{i \ge 1} f_i \prod_{k=1}^i G_{X_i}(z).$

Dla Xi o identycznych rozkładach X _i to upraszcza się do tożsamości powyżej. Ogólny przypadek jest czasami przydatny do uzyskania dekompozycji S_N poprzez funkcje tworzące.

Przykłady

• Funkcja tworząca prawdopodobieństwa zmiennej losowej stałej, czyli jeden z Pr (X =c) = 1, jest

$G(z) = \left(z^c\right).$

• Funkcja tworząca prawdopodobieństwa dwumianowej zmiennej losowej, liczba sukcesów w n, próbach z prawdopodobieństwem p sukcesu w każdej próbie, jest

$G(z) = \left[(1-p) + pz\right]^n.$

Należy pamiętać, że jest to n-krotny funkcji tworzącej prawdopodobieństwa losowej zmiennej Bernoulliego z parametrem p.

• Funkcja tworząca prawdopodobieństwa zmiennej losowej dwumianowej ujemnej, liczba niepowodzeń które nastąpiły przed r -tym sukcesem z prawdopodobieństwem sukcesu p w każdej próbie, jest

$G(z) = \left(\frac{p}{1 - (1-p)z}\right)^r.$

Pamiętajmy że jest to r-krotny produkt funkcji tworzącej prawdopodobieństwa geometrycznej zmiennej losowej.

• Funkcja tworząca prawdopodobieństwa zmiennej losowej Poissona z parametrem skali λ jest

$G(z) = \textrm{e}^{\lambda(z - 1)}.\;\,$

Pojęcia pokrewne

Funkcja tworząca prawdopodobieństwa jest przykładem funkcji tworzącej ciąg: zobacz także formalne szeregi potęgowe To jest czasem nazywane z-transformatę funkcji masy prawdopodobieństwa.

Inne funkcje tworzące zmiennych losowych obejmują funkcję generowania momentów, funkcję charakterystyczną i funkcję tworzącą kumulanty.