Funkcja uwikłana

Funkcja uwikłana – funkcja, która nie jest przedstawiona jawnym przepisem, wzorem wyrażającym zależność wartości funkcji od jej argumentu, lecz bardziej złożonym związkiem, który nie daje się prosto przekształcić na jawny wzór.

Definicja

Niech $X,Y\;$ będą przestrzeniami unormowanymi, $D\subseteq X\times Y$ oraz $f\colon D\to Y$ będzie ciągła. Każdą funkcję $\varphi\colon U\to Y$, gdzie $U\;$ jest pewnym podzbiorem $X\;$, spełniającą dla każdego $x\in U$ równanie $f(x,\varphi(x))=0\;$ nazywamy funkcją uwikłaną funkcji $f\;$ albo funkcją uwikłaną określoną przez równanie $f(x,y)=0\;$.

Wyznaczanie funkcji uwikłanej sprowadza się do rozwiązania równania $f(x,y)=0\;$ względem $y\;$.

Przykłady

• Ustalony punkt okręgu toczącego się bez poślizgu po prostej, zakreśla krzywą, zwaną cykloidą. W odpo­wiednio dobranym kartezjańskim układzie współrzędnych odcięta $x\;$ tego punktu równa jest $x = r \cdot ( t - \sin t )$. Parametr $t\;$ oznacza odległość, o jaką przetoczył się okrąg, a więc przy stałej prędkości toczenia można wartość $t\;$ utożsamić z upływającym czasem. Każda wartość odciętej $x\;$ odpowiada innej chwili $t\;$. Można więc mówić o funkcji $\varphi\;$, która przypisuje każdej pozycji punktu $x\;$ cykloidy wartość $t\;$ – chwilę, w której punkt znajdował się na pozycji $x\;$. Funkcja $\varphi$ nie daje się wyrazić w sposób jawny, tj. wzorem postaci $t = \varphi \left( x \right)$ jest to funkcja uwikłana przez równanie $x = r \cdot ( t - \sin t )$.
• Rozpatrzmy szeregowe połączenie dwu elementów elektronicznych: opornika i diody półprze­wodni­kowej. Niech $U\;$ oznacza napięcie elektryczne przyłożone do tego zestawu, zaś $I\;$ natężenie płynącego w nim prądu. Z natury połączenia szeregowego wynika, że natężenie prądu w oporniku i diodzie jest takie samo, równe $I\;$, zaś napięcie na całym zestawie jest sumą napięć na obu elementach: $U=U_d+U_r\;$. Prawo Ohma podaje związek pomiędzy napięciem $U_r\;$ na oporniku i płynącym przezeń prądem  $I$,
  ${\color{white}-}I = \frac {U_r}{R}$,
  gdzie $R\;$ oznacza opór opornika.
  Związek pomiędzy napięciem $U_d\;$ panującym na diodzie i płynącym przez diodę prądem wyraża równanie Shockleya:
  ${\color{white}-}I = I_S \cdot \left( e^{\frac{U_d}{c}} -1 \right)$,
  w którym $I_S, c\;$ – stałe charakte­rystyczne dla konkretnej diody i temperatury pracy, zaś $e\;$ – podstawa logarytmu naturalnego.
  Powyższe związki można rozwiązać ze względu na napięcia, otrzymując:
  ${\color{white}-}U_r = I \cdot R$,
  ${\color{white}-}U_d = c \cdot \ln \left( \frac {I}{I_S} + 1 \right)$
  To pozwala zapisać związek pomiędzy napięciem $U\;$ przyłożonym do połączenia opornik-dioda i natężeniem płynącego prądu $I$
  ${\color{white}-}U = I \cdot R + c \cdot \ln \left( \frac{I}{I_S} + 1 \right)$ ($\star$).
  Oczywiście natężenie prądu zależy od przyłożonego napięcia. Jednak zależność ta nie daje się wyrazić jawnym wzorem – jest to funkcja uwikłana określona przez równanie ($\star$).

Lokalna jednoznaczność funkcji uwikłanej

Aby uniknąć kłopotów z wieloznacznością funkcji uwikłanej, bada się jej istnienie w sensie lokalnym, tj. istnienie takiej funkcji $y=\varphi(x)$, która jest określona w pewnym otoczeniu punktu $x=x_0\;$, spełnia w tym otoczeniu warunek $f(x,\varphi(x))=0\;$ oraz $\varphi(x_0)=y_0\;$. Oczywiście jest to możliwe tylko wtedy, gdy $x_0\;$ i $y_0\;$ są tak dobrane, że $f(x_0,y_0)=0\;$. Prawdziwe jest następujące twierdzenie.

Twierdzenie o funkcji uwikłanej

Niech $X,Y\;$ będą przestrzeniami Banacha. Jeżeli $D\subseteq X\times Y$ jest zbiorem otwartym, a $f\colon D\to Y$ funkcją klasy $C_1\;$ i dla pewnego punktu $(x_0,y_0)\in D$

$f(x_0,y_0)=0\;$ oraz pochodna cząstkowa $\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\in\operatorname{Isom}(Y;Y)$,

to istnieją liczby $\delta>0\;$ i $\eta>0\;$ oraz funkcja $\varphi\colon k(x_0,\delta)\to k(y_0, \eta)$ klasy $C_1\;$, że

1. $k(x_0,\delta)\times k(y_0,\eta)\subseteq D$,
2. dla każdego punktu $x\in k(x_0, \delta)$ jedynym punktem $y\in k(y_0, \eta)$ spełniającym równanie $f(x,y)=0\;$ jest punkt $y=\varphi(x)\;$.

Założenie zupełności przestrzeni unormowanych jest niezbędne, gdyż dowód twierdzenia o funkcji uwikłanej opiera się o twierdzenie o lokalnym dyfeomorfizmie.

Twierdzenie o różniczkowaniu funkcji uwikłanej

Niech $X,Y\;$ będą przestrzeniami Banacha, $D\subseteq X\times Y$ będzie zbiorem otwartym oraz $f\colon D\to Y$ funkcją klasy $C_1$ taką, że różniczka cząstkowa $\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\in\operatorname{Isom}(Y;Y)$ dla każdego $(x,y)\in D$. Dalej niech dana będzie funkcja ciągła $\psi\colon U\to Y$, gdzie $U$ jest podzbiorem otwartym przestrzeni $X\;$. Jeżeli dla każdego $x\in U\;$

$(x,\psi(x))\in D$ oraz $f(x,\psi(x))=0\;$,

to $\psi$ jest funkcją klasy $C_1\;$ i dla każdego $x\in U$ różniczka:

$d \psi (x)=-\left(\frac{\partial f}{\partial y}(x,\psi(x))\right)^{-1}\circ \frac{\partial f}{\partial x}(x,\psi(x))$.

Funkcje rzeczywiste

Niech $D\subseteq \mathbb{R}^2$ będzie zbiorem otwartym. Jeżeli funkcja $f\colon D\to \mathbb{R}$ jest klasy $C_1\;$ i dla pewnego punktu $(x_0,y_0)\in D$ spełnia warunki:

$f(x_0,y_0)=0\;$ oraz $\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\neq 0$,

to w pewnym otoczeniu punktu $x_0\;$ istnieje dokładnie jedna funkcja ciągła $y=\varphi(x)\;$, spełniająca warunki $y_0=\varphi(x_0)\;$ oraz $f(x,\varphi(x))=0\;$ dla $x\;$ z tego otoczenia.
Ponadto, jeśli w otoczeniu punktu $(x_0,y_0)\;$ istnieje ciągła pochodna cząstkowa $\frac{\partial f}{\partial x}$, to funkcja uwikłana $y=\varphi(x)$ ma ciągłą pochodną daną wzorem

$\frac{dy}{dx}=-\frac{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial y}}$.

Inne twierdzenia

Czasem przez twierdzenie o funkcji uwikłanej rozumie się następujące twierdzenie:

Niech $X,Y,Z \;$ będą przestrzeniami Banacha, $U\subseteq X, V\subseteq Y$ będą otoczeniami zera (odpowiedniej przestrzeni). Jeśli $\varphi\colon U\to V, \psi\colon V\to Z$ są funkcjami klasy $C_1\;$ takimi, że

1. $\varphi(0)=0, \psi(0)=0\;$,
2. $\varphi\circ \psi\equiv 0$,
3. $\operatorname{im}\;d\varphi(0)=\operatorname{ker}\;d\psi(0)$
4. $\operatorname{im}\;d\psi(0)$ jest zbiorem domkniętym

wówczas istnieje takie otoczenie zera $W\subseteq V$, że

$\psi^{-1}(0)\cap W=\varphi(U)\cap W$.

Bibliografia

1. Witold Kołodziej: Analiza matematyczna. Warszawa: PWN, 1979. 
2. Włodzimierz Krysicki, Lech Włodarski: Analiza matematyczna w zadaniach 2. Warszawa: PWN, 2005. 
3. Jinpeng An, Karl-Herman Neeb: An implicit function theorem for Banach spaces and some applications. Math. Z., 262 (2009), no. 3, 627-643. 

Linki zewnętrzne

• Prezentacja na temat funkcji uwikłanych, wraz z przykładem wykorzystania ich w ekonomii