Funkcja wykładnicza

Funkcja wykładnicza – funkcja postaci:

$f(x)=a^{x}$, gdzie $a>0$.

Niektórzy autorzy wymagają, aby podstawa $a$ funkcji wykładniczej była różna od 1, ponieważ dla $a = 1$ funkcja $a^x$ jest funkcją stałą.

Własności

• $\quad a^{x+y}=a^x \cdot a^y$
• $\quad a^{x-y}=\frac{a^{x}}{a^{y}}$

• Dla $a>1\quad$ funkcja wykładnicza o podstawie $a\quad$ jest rosnąca, dla $0<a<1\quad$ malejąca. Jeśli $\quad a=1$ to funkcja $\quad f(x)=a^x$ jest stała.

• Pochodna funkcji wykładniczej to:

$(a^x)'=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{a^{x+\Delta x}-a^x}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}a^x\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}=a^x \lim_{\Delta x\to 0}\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}=a^x \ln a$

(patrz dowód w logarytm naturalny)

Czyli w szczególności dla $a=e\quad$ mamy

$(e^x)'=e^x\quad$

• Funkcja wykładnicza o podstawie $a>1$ jest (przy argumencie dążącym do $+\infty$) asymptotycznie większa niż funkcja wielomianowa, mniejsza zaś niż silnia.

Funkcja eksponencjalna

Szczególnym przypadkiem funkcji wykładniczej jest funkcja eksponencjalna, czyli funkcja wykładnicza o podstawie równej $e$ (czyli podstawie logarytmu naturalnego). Inne oznaczenie takiej funkcji to: $\exp(x)$ (nazywane skrótowo eksponentą).

Cechą funkcji $f(x)=e^x\quad$ jest to, że jej pochodna jest równa jej samej. Zastosowanie metody łamanych Eulera do rozwiązywania równania różniczkowego:

$\dot{x}=x$

daje wzór na funkcję eksponencjalną:

$\exp(x)= \lim_{n\to\infty}\left(1+\tfrac{x}{n}\right)^n$

Eksponens jako funkcję analityczną na mocy twierdzenia Taylora można rozwinąć w szereg potęgowy: $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$.

Wykres funkcji $y=e^x\quad$:

Płaszczyzna zespolona

Wykres $e^z$ na płaszczyźnie zespolonej uzyskany techniką kolorowania dziedziny.

Funkcję eksponencjalną łatwo uogólnić na ciało liczb zespolonych. Jedną z metod jest wykorzystanie rozwinięcia funkcji w szereg Tylora i podstawienie zespolonego argumentu w miejsce rzeczywistego:

$e^z = \sum_{n = 0}^\infty\frac{z^n}{n!}$

Jest to funkcja okresowa z okresem $2 \pi i$ i można ją zapisać jako:

$e^{a + bi} = e^a (\cos b + i \sin b)\,$

gdzie a i b to odpowiednio współczynniki części rzeczywistej i urojonej danej liczby zespolonej.

Funkcja eksponencjalna w dziedzinie liczb zespolonych zachowuje następujące własności

• $e^{z + w} = e^z e^w\,$
• $e^0 = 1\,$
• $e^z \ne 0$
• ${d \over dz} e^z = e^z$
• $\,(e^z)^n = e^{nz}, n \in \mathbb{Z}$

dla wszystkich z i w.

Funkcja eksponencjalna jest całkowita i holomorficzna w całym zbiorze liczb zespolonych. Jej wartościami są wszystkie liczby zespolone z wyjątkiem 0.