Funkcja wypłat

Funkcja wypłat - pojęcie z zakresu teorii gier stosowane do opisu m.in. gier o postaci normalnej. Dla danych strategii czystych określa jaką wypłatę przyniesie ich zastosowanie.

Definicja

Niech $<N, A, (u_i)_{i \in N} >$ będzie grą

Funkcją wypłat nazywamy funkcję $u: A \rightarrow \mathbb{R}^N$ która danemu profilowi strategii czystych przyporządkowuje pewną N-tkę liczb rzeczywistych, gdzie kolejne współrzędne są wypłatami kolejnych graczy. Równoważnie: $u(a) =(u_1(a), ..., u_N(a)), a \in A$

Macierz wypłat

Macierz wypłat to wygodny sposób zapisu wypłat stosowany w grach o postaci normalnej.

Definicja

Macierz wypłat to szczególny przypadek funkcji wypłat. Stosuję się go zwykle dla gier o liczbie graczy nie większej niż 3 (ze względu na komplikację przy większej ilości graczy). Poniżej podano wyraz ogólny macierzy dla gry dwuosobowej, przy danej funkcji wypłat. Jest to para uporządkowana w której pierwsza (odpowiednio: druga) współrzędna oznacza wypłatę gracza pierwszego (drugiego).

$a_{ij} = (u_1(1_i, 1_j),u_2(1_i,1_j))$, gdzie $u_i$ wartość funkcji wypłat, a $1_i$ i-tą strategię czystą.

Oznaczmy tą macierz przez $W$, a przez $W^k$ oznaczmy macierz o następujących wyrazach: $w_{i,j}^k = u_k(1_i,1_j)$ gdzie k = 1,2. Zatem $W^k$ oznacza macierz wypłat gracza k-tego.