Funkcja dzeta Riemanna

Funkcja ζ (dzeta) Riemanna – jedna z funkcji specjalnych określona wzorem:

${\zeta}( z ) = \sum_{n = 1}^{\infty} \left( \frac{1}{n} \right)^z$

Szereg ten jest zbieżny dla takich $z$, których część rzeczywista jest większa od 1.

Za pomocą metod analizy matematycznej funkcję tę daje się rozszerzyć na wszystkie liczby zespolone, poza $z=1$. Przyjmuje ona wtedy postać:

${\zeta}( z ) = \frac{1}{1-2^{1-z}} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{2^{n+1}} \sum_{k = 0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k} (k+1)^{-z}$

Aby znaleźć wartość funkcji dzeta dla $z$ o części rzeczywistej mniejszej od 1 można posłużyć się również wzorem rekurencyjnym:

${\zeta}( z ) = 2^z \pi^{z-1} \sin\left(\frac{\pi z}{2}\right) \Gamma ( 1 - z){\zeta}( 1 - z )$

gdzie $\Gamma$ to funkcja Γ (gamma) Eulera.

Z funkcją dzeta związany jest jeden z najważniejszych problemów współczesnej matematyki – Hipoteza Riemanna.

Wykres funkcji ζ

Dziedzina liczb rzeczywistych

Dziedzina liczb zespolonych

Wykres funkcji ζ(z) na płaszczyźnie zespolonej uzyskany techniką kolorowania dziedziny.

Ważne wzory związane z funkcją ζ

Związek funkcji dzeta z liczbami pierwszymi (dla $Re(z)>1$):

${\zeta}( z ) = \prod_p \frac{1}{1-p^{-z}}$

gdzie $p$ oznacza ciąg kolejnych liczb pierwszych.

Związek z liczbami Bernoulliego:

${\zeta}( 2n ) = \left(-1\right)^{n+1} \frac{B_{2n}\left(2\pi\right)^{2n}}{2\left(2n\right)!}$

dla każdej liczby parzystej dodatniej $2n$, gdzie $B_k$ to $k$-ta liczba Bernoulliego. Ponadto dla liczb całkowitych ujemnych $-n$:

${\zeta}( -n ) = -\frac{B_{n+1}}{n+1}$

Zatem funkcja ζ znika dla każdej ujemnej liczby parzystej.

Związki z funkcjami teorioliczbowymi:

$\ln \zeta(z)=z\int_2^\infty \frac{\pi(x)}{x(x^z-1)}dx$

gdzie $\pi(x)$ to funkcja π (pi) określająca liczbę liczb pierwszych nie większych od $x$.

$\zeta^2(z)=\sum_{n=1}^\infty \frac{\tau(n)}{n^z}$

gdzie $\tau(n)$ to funkcja τ (tau), określająca liczbę dzielników liczby $n$.

Niektóre wartości

$\zeta(2) = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \ldots = \frac{\pi^2}{6}$

$\zeta(4) = 1 + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \ldots = \frac{\pi^4}{90}$

$\zeta(6) = 1 + \frac{1}{2^6} + \frac{1}{3^6} + \ldots = \frac{\pi^6}{945}$

$\zeta(8) = 1 + \frac{1}{2^8} + \frac{1}{3^8} + \ldots = \frac{\pi^8}{9450}$