Funkcjonał

Funkcjonał – odwzorowanie określone na pewnej przestrzeni (przestrzeni funkcji, przestrzeni liniowej, σ-ciele) o wartościach w ciele liczbowym. Pojęcie funkcjonału pierwotnie pojawiło się w rachunku wariacyjnym. W kontekście przestrzeni liniowych i modułów używa się także określenia forma.

Przypadki szczególne i uogólnienia

Jeżeli dziedziną funkcjonału jest przestrzeń liniowa, a jest on addytywny i jednorodny, to mówimy, że jest liniowy, z kolei gdy rozpatrujemy funkcjonał określony na iloczynie kartezjańskim przestrzeni liniowych, który jest liniowy ze względu na każdą ze zmiennych, to mówimy o funkcjonale wieloliniowym. Szczególnym przypadkiem funkcjonału wieloliniowego jest funkcjonał dwuliniowy. Przykładem funkcjonału, który nie jest liniowy, jest miara.

Przykład

Niech $C([a,b])\,$ oznacza przestrzeń funkcji ciągłych, określonych na przedziale $[a,b]\,$. Odwzorowanie $I\colon C([a,b])\to \mathbb{R}$, dane wzorem

$I(f)=\int\limits_a^b~f(x)d x$

jest funkcjonałem liniowym. W tym wypadku wartość funkcjonału ma interpretację geometryczną jako pole powierzchni ograniczonej przez wykres funkcji będącej argumentem funkcjonału.

Forma a funkcjonał

W literaturze matematycznej istnieje spora niekonsekwencja w użyciu terminów forma i funkcjonał.

• Gleichgewicht wyraźnie rozróżnia termin funkcjonał od zwrotu forma. Ten ostatni zwrot oznacza w jego książce formułę, wyrażenie formalne. I tak, na przykład, pisze on:

[...] napiszemy wzór (10.1) w postaci

$f(x)=\alpha_1\xi_1+\alpha_2\xi_2+\ldots+\alpha_n\xi_n$

zwanej formą liniową [...]

a potem

(10.4) $\varphi(x,y)=\sum_{i,j=1}^n\alpha_{ij}\xi_i\eta_j$

[...] Prawa strona wyrażenia (10.4) nazywa się formą dwuliniową

Należy też zwrócić uwagę, że same przekształcenia w ciało (np. $f,\varphi$ powyżej) są konsekwentnie określane jako funkcjonały.

• Lang używa określenia funkcjonał na odwzorowania liniowe z przestrzeni wektorowej $V$ (nad ciałem $K$) w ciało $K$. Słowo forma jest używane tu dla odwzorowań wieloliniowych oraz kwadratowych (tzn. mówi się w tej książce o formach wieloliniowych, formach kwadratowych itd).
• Natomiast Komorowski używa jedynie określenia forma, pisząc

Elementy przestrzeni $V^*$ nazywamy formami liniowymi na $V$; często, kiedy nie prowadzi to do nieporozumień, formy liniowe nazywa się krótko formami.

W kolejnym rozdziale Komorowski wprowadza następującą definicję:

Elementy p.w. $L(V_1,\ldots,V_n; K)$ nazywamy formami n-liniowymi.

• Musielak pisze

[...] operator liniowy $T:X\longrightarrow {\mathbf K}$ nazywamy funkcjonałem liniowym lub formą liniową.

Jednak w pozostałych częściach tekstu używa on głównie zwrotu funkcjonał liniowy.

Zobacz też

• funkcjonał liniowy
• funkcjonał dwuliniowy
• funkcjonał półtoraliniowy
• przestrzeń liniowa
• przestrzeń funkcyjna
• dystrybucja