Funkcjonał Minkowskiego

Funkcjonał Minkowskiego - podaddytywny i dodatnio jednorodny funkcjonał związany z pochłaniającymi i wypukłymi podzbiorami przestrzeni liniowej

Definicja

Zbiór pochłaniający i wypukły nazywamy zbiorem Minkowskiego. Jeżeli $A\subseteq X$ jest zbiorem Minkowskiego, to funkcjonał $\mu_A\colon X\to [0,\infty)$ dany wzorem

$\mu_A(x)=\inf\{\alpha\in (0,\infty)\colon x\in \alpha A\}$,

nazywamy funkcjonałem Minkowskiego.

Własności

Jeżeli $A\subseteq X$, jest zbiorem Minkowskiego, to

• $\mu_A(x+y)\leqslant \mu_A(x)+\mu_A(y)$ dla $x,y\in X$,
• $\mu_A(\alpha x)=\alpha \mu_A(x)$ dla $x\in X$ oraz $\alpha\in [0,\infty)$,
• $x\in \alpha A$ dla każdego $x\in X$ oraz $\alpha>\mu_A(x)$,
• $\{x\in X\colon\, \mu_A(x)<1\}\subseteq A \subseteq \{x\in X\colon\, \mu_A(x)\leqslant 1\}$. Ponadto, zbiory $\{x\in X\colon\, \mu_A(x)<1\}, \{x\in X\colon\, \mu_A(x)\leqslant 1\}$ są zbiorami Minkowskiego i $\mu_A$ jest funkcjonałem Minkowskiego każdego z tych zbiorów.

Jeżeli, ponadto, $A$ jest zbiorem zbalansowanym, to $\mu_A$ jest półnormą w przestrzeni $X$.