Forma liniowa

Forma liniowa albo funkcjonał liniowy (kowektor) – w algebrze liniowej przekształcenie liniowe danej przestrzeni liniowej w ciało jej skalarów, czyli funkcjonał, który jest liniowy, tj. addytywny i jednorodny. Pojęcie to uogólnia się bez zmian na przypadek modułów nad pierścieniami.

Definicja

Niech $\scriptstyle V$ będzie przestrzenią liniową nad ciałem $\scriptstyle K.$ Przekształcenie $\scriptstyle \varphi\colon V \to K$ nazywa się formą liniową albo funkcjonałem liniowym (bądź kowektorem), jeżeli jest ona

• jednorodna,

  $\varphi(c\mathbf x) = c \varphi(\mathbf x),$

• addytywna,

  $\varphi(\mathbf{x + y}) = \varphi(\mathbf x) + \varphi(\mathbf y);$

równoważnie można powiedzieć, że jest liniowa, tj. spełnia

$\varphi(c\mathbf x + d\mathbf y) = c\varphi(\mathbf x) + d\varphi(\mathbf y).$

Własności

Każda forma liniowa jest albo trywialna (równa zeru dla każdego wektora) albo „na” (ciało skalarów), co wynika wprost z uwagi, iż $\scriptstyle K$ może być traktowana jako jednowymiarowa przestrzeń liniowa – jej jedynymi podprzestrzeniami są podprzestrzeń trywialna $\scriptstyle \{0\}$ lub niewłaściwa $\scriptstyle K.$ Formy liniowe o tym samym jądrze są proporcjonalne.

Forma liniowa jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy jej jądro jest domknięte. Wartość bezwzględna dowolnej formy liniowej jest półnormą na przestrzeni liniowej, na której została określona.

Przykłady

• $\scriptstyle f\colon \mathbb R^3 \to \mathbb R$ dana wzorem $\scriptstyle f(x, y, z) = x + 2y + 3z.$
• $\scriptstyle I\colon C[a,b] \to \mathbb R$ dana wzorem $\scriptstyle I(f) = \int\limits_a^b~f(x) \mathrm dx.$

Ta sekcja jest niekompletna. Jeśli możesz, rozbuduj ją.

Przestrzeń funkcjonałów

Zbiór $\scriptstyle \mathrm{Hom}(V, K)$ wszystkich form liniowych $\scriptstyle V \to K$ tworzy przestrzeń liniową (por. przestrzeń funkcyjna) z działaniami dodawania form liniowych, $\scriptstyle \varphi + \psi,$ i ich mnożenia przez skalar, $\scriptstyle c\varphi,$ określonymi „punktowo”, tj.

$(\varphi + \psi)(\mathbf x) = \varphi(\mathbf x) + \psi(\mathbf x)$

oraz

$(c\varphi)(\mathbf x) = c \varphi(\mathbf x).$

Wspomnianą przestrzeń nazywa się przestrzenią dualną (lub sprzężoną) do przestrzeni $\scriptstyle V$ i oznacza symbolem $\scriptstyle V^\star.$ W przypadku, gdy $\scriptstyle V$ jest przestrzenią liniową nieskończonego wymiaru (z dodatkową strukturą topologiczną, tj. przestrzenią liniowo-topologiczną) daleko bardziej produktywne bywa ograniczenie się do podprzestrzeni $\scriptstyle V'$ wszystkich tych form liniowych, które są ciągłe (zob. operator liniowy nieciągły).

Jeśli $\scriptstyle V$ jest skończeniewymiarowa, to $\scriptstyle V^\star = V',$ gdyż wszystkie formy liniowe są wtedy ciągłe; a ponadto przestrzenie $\scriptstyle V$ oraz $\scriptstyle V^\star$ są równego wymiaru, co oznacza, iż są one izomorficzne (jako izomorficzne z tymi samymi przestrzeniami współrzędnych). Utożsamienie przestrzeni liniowej z jej dualną umożliwia za pomocą formy dwuliniowej bądź formy półtoraliniowej (szczególnie, gdy ciałem skalarów są liczby rzeczywiste lub zespolone) umożliwia uprawianie na niej geometrii – standardowym sposobem tego rodzaju utożsamienia jest wprowadzenie iloczynu skalarnego – ten naturalny krok tłumaczy alternatywną nazwę form liniowych: „kowektor”, wynika to z faktu, iż kowektory danej przestrzeni mają nieco inne własności niż wektory (zob. dualność i iloczyn skalarny w przestrzeniach współrzędnych).

Zobacz też

• forma dwuliniowa, forma półtoraliniowa,
• przestrzeń sprzężona z przestrzenią Banacha,
• twierdzenie o oddzielaniu.

Bibliografia

• Andrzej Birkholc: Analiza matematyczna. Funkcje wielu zmiennych. Warszawa: PWN, 1986.