Geometria uporządkowania

Geometria uporządkowania – geometria, której jedynymi pojęciami pierwotnymi są punkty A, B, C, ... oraz trzyargumentowa relacja leżenia między [ABC], która zachodzi wtedy, gdy punkt B leży między punktami A i C. W geometrii tej, podobnie jak w geometrii rzutowej, pomija się pojęcie odległości (metryki). Geometria uporządkowania jest bazą dla geometrii absolutnej i geometrii afinicznej (ale nie dla geometrii rzutowej).

Aksjomaty geometrii uporządkowania

Aksjomat Pascha w geometrii uporządkowania (siódmy w spisie)

1. Istnieją co najmniej dwa punkty.
2. Jeżeli A i B są dwoma różnymi punktami, to istnieje co najmniej jeden punkt C, dla którego [ABC].
3. Jeżeli [ABC], to A ≠ C.
4. Jeżeli [ABC], to [CBA], ale nie [BCA].
5. Jeżeli C i D są różnymi punktami na prostej AB, to A znajduje się na prostej CD.
6. Jeżeli AB jest prostą, to istnieje punkt C nie leżący na tej prostej.
7. Jeżeli ABC jest trójkątem oraz zachodzą relacje [BCD] i [CEA], to na prostej DE znajduje się punkt F, dla którego [AFB] (Aksjomat Pascha).
8. Wszystkie punkty leżą w tej samej płaszczyźnie.
9. Dla każdego podziału zbioru wszystkich punktów prostej na dwa niepuste zbiory, takie że żaden punkt jednego nie leży między dwoma punktami drugiego, istnieje punkt należący do jednego zbioru, który leży między każdym innym punktem tego zbioru, a każdym punktem drugiego zbioru (Aksjomat ciągłości, zw. też pewnikiem Dedekinda).

Definicje i najprostsze własności

• Jeżeli [ABC], to nie [CAB].

Gdyby [CAB], to na mocy aksjomatu 4. nie [ABC], wbrew założeniu, co dowodzi tezy.

• Jeżeli [ABC], to punkty A, B i C są różne.

Gdyby B = C, to na podstawie aksjomatu 4. byłoby jednocześnie [BBA] i nie [BBA], czyli sprzeczność. Jeżeli B = A na mocy aksjomatu 4. [CBA], czyli jednocześnie [ABC] i nie [BAC], czyli jednocześnie [AAC] i nie [AAC], co jest sprzeczne. Zatem B ≠ C, A ≠ B. Ponieważ z aksjomatu 3. A ≠ C, więc wszystkie punkty są różne.

Podział prostej AB punktami A i B na odcinek otwarty (fioletowy) i dwa promienie: A/B (zielony) i B/A (czerwony; punkty A i B nie należą do żadnego z trzech zbiorów podziału).

Definicja 1. Odcinek otwarty AB jest zbiorem wszystkich takich punktów P, że [APB].

Definicja 2. Odcinek domknięty $\overline{A B}$ jest sumą odcinka otwartego AB i zbioru {A, B}.

Definicja 3. Promień A/B jest zbiorem wszystkich takich punktów P, że [PAB]. Promień A/B nie zawiera punktu A.

Definicja 4. Prosta AB jest sumą odcinka domkniętego $\overline{A B}$ i promieni A/B i B/A.

Z aksjomatu 5. wynika twierdzenie:

• Jeżeli C i D są różnymi punktami na prostej AB, to proste AB i CD są identyczne.

Pociąga ona za sobą ważne własności prostych:

• Dwa różne punkty leżą na dokładnie jednej prostej.
• Dwie różne proste mają co najwyżej jeden punkt wspólny.
• Jeśli punkty A, B i C leżą na jednej prostej, to spełniona jest jedna z relacji [ABC], [BCA] lub [CAB].

Z aksjomatu 6. wynika, że:

• Jeśli A, B i C nie leżą na jednej prostej, to proste AB, BC i CA są różne.

Definicja 5. Jeżeli punkty A, B i C nie leżą na jednej prostej (czyli są niewspółliniowe), to definiują one trójkąt ABC, który składa się z trzech wierzchołków A, B i C oraz trzech boków będących odcinkami otwartymi AB, BC i CA.

W każdym odcinku otwartym AB można znaleźć jakiś punkt C.

• Dla dowolnych dwóch punktów A i B istnieje taki punkt C, że [ACB].

Dowód. Z aksjomatu 6. wynika, że istnieje punkt E nienależący do prostej AB (zielona prosta na rysunku). Z aksjomatu 2. wynika, że istnieje taki punkt F, że [BEF] oraz taki punkt G, że [AFG]. Na podstawie aksjomatu 7. istnieje na prostej GE taki punkt C, że [ACB].

Definicja afiniczna geometrii uporządkowania na płaszczyźnie

Emil Artin w swojej książce Algebra geometryczna zaproponował nieco inne podejście do geometrii uporządkowania, bardziej użyteczne przy algebraicznym ujęciu problemu: Płaszczyznę nazywamy uporządkowaną, jeśli:

1. Zbiór punktów na każdej prostej jest liniowo uporządkowany.
2. Rzut równoległy punktów jednej prostej na drugą prostą albo zachowuje uporządkowanie, albo zmienia je na przeciwne.

Podstawowym wynikiem w tak rozwijanej geometrii uporządkowania jest następujące twierdzenie:

Geometria uporządkowania na płaszczyźnie kanonicznie indukuje ciało słabo uporządkowane k, a słabe uporządkowanie ciała k kanonicznie indukuje geometrię uporządkowania.

Bibliografia

• Coxeter H. S. M.: Wstęp do geometrii dawnej i nowej. Warszawa: PWN, 1967. 
• Artin E.: Geometric Algebra. London: Interscience Publishers LTD., 1957.