Granica ciągu

Granica ciągu – wartość, w której dowolnym otoczeniu znajdują się prawie wszystkie (tzn. wszystkie poza skończenie wieloma) wyrazy danego ciągu; precyzyjniej: wartość, dowolnie blisko której leżą wszystkie wyrazy ciągu o dostatecznie dużych wskaźnikach.

Granica (właściwa) i zbieżność

Niech $(a_n)$ będzie ciągiem (skończonym bądź nieskończonym) liczb rzeczywistych lub zespolonych. Liczbę $g$ nazywa się granicą ciągu $(a_n)$, jeżeli

$\forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_N\; \forall_{n > N}\; |a_n - g| < \varepsilon,$

gdzie symbol $|\cdot|$ oznacza wartość bezwzględną liczby rzeczywistej, bądź moduł liczby zespolonej.

W interpretacji geometrycznej powyższa nierówność dla liczb zespolonych oznacza w istocie, że wybrane jw. wyrazy $a_n$ leżą w kole $K(g, \varepsilon);$ z kolei dla liczb rzeczywistych oznacza ona, że leżą one w przedziale $(g - \varepsilon,\ g + \varepsilon),$ który jest odpowiednikiem koła dla osi liczbowej.

Powyższy formalny warunek można więc wysłowić następująco:

dla dowolnej dodatniej liczby $\varepsilon$ istnieje taki wskaźnik $N,$ że dla wszystkich wskaźników $n$ większych od $N$ wyrazy $a_n$ leżą w kole o środku $g$ i promieniu $\varepsilon.$

Granicę ciągu $(a_n)$ oznacza się $\lim_{n \to \infty}~a_n$ lub po prostu $\lim~a_n$, a fakt, że $g$ jest granicą ciągu $(a_n)$, niekiedy oznacza się $a_n \xrightarrow{n \to \infty} g$ lub $a_n \to g$ i czyta się: „ciąg $a_n$ dąży do granicy $g$”.

Ciągi mające granice nazywa się zbieżnymi, a pozostałe – rozbieżnymi. Do badania ciągów rozbieżnych stosuje się pojęcie granicy górnej i dolnej, czyli największej i najmniejszej spośród wszystkich granic jego podciągów zbieżnych. Ciąg liczb rzeczywistych jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jego granice górna i dolna są sobie równe. Przydatne jest też pojęcie punktu skupienia. Jest ono uogólnieniem pojęcia granicy, bowiem każda granica jest punktem skupienia, ale nie na odwrót.

Niekiedy, dla odróżnienia od granicy niewłaściwej opisanej w kolejnej sekcji, granicę ciągu zbieżnego do pewnej liczby rzeczywistej lub zespolonej (nazywanej wtedy „skończoną”, w przeciwieństwie do dwóch lub jednej „liczb nieskończonych”) nazywa się granicą właściwą.

Granice niewłaściwe

Dla niektórych rozbieżnych ciągów nieskończonych wprowadza się pojęcie granicy niewłaściwej. Są to te ciągi, których wyrazy rosną lub maleją nieograniczenie; można powiedzieć, że dążą one do punktu w nieskończoności. Jest to związane z pojęciem uzwarcenia (kompaktyfikacji) zbiorów liczb rzeczywistych lub zespolonych (zależnie od wyrazów danego ciągu). Często tego rodzaju rozszerzenie umożliwia ogólniejsze ujęcie definicji i własności związanych z granicami ciągów.

W przypadku granic niewłaściwych $-\infty, +\infty$ zbiór liczb rzeczywistych zostaje rozszerzony o dwa nowe elementy oznaczane $-\infty, +\infty$. Topologicznie w efekcie takiej operacji uzyskuje się zbiór homeomorficzny z odcinkiem domkniętym. Rozszerzony w ten sposób zbiór $\mathbb R$ oznacza się zazwyczaj $\overline{\mathbb R}$

W przypadku granicy niewłaściwej $\infty$ zbiory liczb rzeczywistych bądź zespolonych są rozszerzone o nowy element oznaczany symbolem $\infty$. Topologicznie rozszerzenie tego typu jest homeomorficzne odpowiednio z okręgiem lub ze sferą. Tak rozszerzony zbiór $\mathbb R$ oznacza się zazwyczaj $\mathbb R^*$ lub $\widehat{\mathbb R},$ a rozszerzony zbiór $\mathbb C$ oznacza się $\mathbb C^*$ lub $\widehat{\mathbb C}.$

Mówi się, że ciąg $(a_n)$ ma granicę niewłaściwą w $\infty$ lub jest rozbieżny do $\infty,$ jeżeli

$\forall_{M\in\mathbb R}\; \exists_N\; \forall_{n > N}\; |a_n| > M.$

Można wysłowić to następująco:

dla dowolnie dużego koła o środku w $0$ prawie wszystkie wyrazy ciągu $a_n$ leżą na zewnątrz tego koła.

Jeżeli $(a_n)$ jest ciągiem liczb rzeczywistych i wszystkie jego wyrazy o indeksach większych od odpowiednio dużego $N$ są większe od dowolnie z góry dobranej liczby, to mówi się, że ciąg ma granicę niewłaściwą w $+\infty,$ bądź że jest rozbieżny do $+\infty;$ jeżeli są mniejsze od dowolnie z góry dobranej liczby, to ma on granicę niewłaściwą w $-\infty$ lub że jest rozbieżny do $-\infty.$

Równoważnie można powiedzieć, że ciąg $(a_n)$ ma

• granicę niewłaściwą w $+\infty$, jeżeli

$\forall_{M\in\mathbb R}\; \exists_N\; \forall_{n > N}\; a_n > M;$

• granicę niewłaściwą w $-\infty$, jeżeli

$\forall_{M\in\mathbb R}\; \exists_N\; \forall_{n > N}\; a_n < M.$

Przykłady

• Granicą ciągu $(1, 2, 5, 13)$ jest liczba $13.$ W ogólności granicą ciągu skończonego jest jego ostatni wyraz.
• Granicą ciągu $a_n = \tfrac{1}{n}$ jest $0.$

  Dla dowolnego $\varepsilon$ wystarczy za $N$ wziąć dowolną liczbę naturalną większą od $\tfrac{1}{\varepsilon}.$ Wówczas dla dowolnego wskaźnika $n > N$ otrzymuje się $n > \tfrac{1}{\varepsilon},$ czyli $\tfrac{1}{n} < \varepsilon.$

  Przykładowo dla $\varepsilon = \tfrac{1}{1000}$ wszystkie wyrazy ciągu $a_{1001},\; a_{1002},\; a_{1003},\; \dots$ oddalone są od zera o nie więcej niż $\tfrac{1}{1000}.$

• Granicą ciągu $b_n = \tfrac{n}{n+1}$ jest $1.$

  Dla dowolnego $\varepsilon$ wystarczy za $N$ wziąć dowolną liczbę naturalną większą od $\tfrac{1}{\varepsilon} - 1.$ Wtedy dla dowolnego indeksu $n > N$ zachodzi $n > \tfrac{1}{\varepsilon} - 1,$ czyli $\tfrac{1}{n+1} < \varepsilon,$ skąd $\tfrac{n}{n+1} > 1 - \varepsilon.$

  Przykładowo dla $\varepsilon = \tfrac{1}{1000}$ wszystkie wyrazy ciągu $a_{1000},\; a_{1001},\; a_{1002},\; \dots$ są oddalone od jedynki nie więcej niż o $\tfrac{1}{1000}.$

• Ciąg $a_n = n$ jest rozbieżny, ale ma granicę niewłaściwą $+\infty$.
• Ciąg $a_n = n(-1)^n$ jest rozbieżny, ale ma granicę niewłaściwą $\infty$.
• Ciągi $a_n = (-1)^n$ oraz $b_n = (-1)^n + \tfrac{(-1)^{n+1}}{n}$ są rozbieżne i nie mają żadnej granicy – ani właściwej, ani niewłaściwej, przy czym ich granicami dolną i górną są odpowiednio $-1$ oraz $1;$ w obu przypadkach liczby te są punktami skupienia tych ciągów.
• Ciąg $a_n = \{n\pi\},$ gdzie $\{\cdot\}$ oznacza część ułamkową liczby, ma granicę dolną $0$ i górną $1,$ każdy punkt przedziału $[0,1]$ jest punktem skupienia.

Własności

• Ciąg ma najwyżej jedną granicę (właściwą).
• Jeśli ciąg ma granicę właściwą, to jest on ograniczony. Jeśli ciąg liczb rzeczywistych bądź zespolonych ma granicę niewłaściwą, to jest nieograniczony.
• Dowolny podciąg ciągu zbieżnego jest zbieżny do tej samej granicy.
• Jeśli ciągi $(a_n)$ i $(b_n)$ są zbieżne oraz $a_n \leqslant b_n$ dla każdego naturalnego $n,$ to $\lim~a_n \leqslant \lim~b_n.$
• Twierdzenie o trzech ciągach: jeśli ciągi $(a_n)$ i $(c_n)$ są zbieżne do wspólnej granicy $g,$ przy czym $a_n \leqslant b_n \leqslant c_n$ dla każdego naturalnego $n,$ to ciąg $(b_n)$ również jest zbieżny i to do granicy $g.$
• Jeśli ciągi $(a_n),\; (b_n)$ są ciągami zbieżnymi odpowiednio do $a$ oraz do $b,$ to wykonalne są działania:
  • $\lim~(a_n + b_n) = a + b,$
  • $\lim~(a_n - b_n) = a - b,$
  • $\lim~(a_n \cdot b_n) = a \cdot b,$
  • $\lim~a_n/b_n = a/b,$ o ile tylko $b \ne 0$ oraz $b_n \ne 0$ dla każdego $n.$

• Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa: z każdego ciągu ograniczonego można wybrać podciąg zbieżny.
• Każdy liczbowy ciąg monotoniczny i ograniczony ma granicę.
• Ciąg liczbowy jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągiem Cauchy'ego.

Przestrzenie metryczne i topologiczne

Definicja granicy liczbowej i wiele jej własności przenoszą się na dowolne przestrzenie metryczne: wystarczy zastąpić wartość bezwzględną (moduł) różnicy dwóch liczb metryką danej przestrzeni, przy czym definicja wyraża się tymi samymi słowy. Niech $(X, d)$ będzie przestrzenią metryczną. Ciąg $(a_n)$ elementów tej przestrzeni jest zbieżny do $g \in X,$ jeśli

$\forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_N\; \forall_{n > N}\; d(a_n, g) < \varepsilon.$

Warunkiem równoważnym zbieżności ciągu $(a_n)$ jest żądanie, by ciąg $(d_n)$ odległości $d_n = d(a_n, g),$ był zbieżny do $0.$ Ta sama definicja mutatis mutandis obowiązuje w przestrzeniach z normą $\|\cdot\|,$ jeśli przyjąć jako metrykę $d(a, b) = \|a - b\|$.

Pojęcie granicy ciągu można przenieść w naturalny sposób na dowolne przestrzenie topologiczne poprzez zastąpienie kul otoczeniami.

Niech $(X, \tau)$ będzie przestrzenią topologiczną. Ciąg $(x_n)$ elementów tej przestrzeni jest zbieżny do $x \in X,$ jeśli

$\forall_{U \in \tau}\; \left(x \in U \Rightarrow \exists_N\; \forall_{n > N}\; x_n \in U\right).$

co można wyrazić:

dla dowolnego otoczenia $U$ punktu $x$ istnieje taki wskaźnik $N,$ że dla wszystkich wskaźników $n$ większych od niego wyrazy $a_n$ leżą we wspomnianym otoczeniu $U,$

lub inaczej:

w dowolnym otoczeniu $U$ punktu $x$ mieszczą się prawie wszystkie wyrazy ciągu $x_n$.

W przestrzeniach Hausdorffa (którymi są także wspomniane wcześniej przestrzenie liczb rzeczywistych lub zespolonych) każdy ciąg może być zbieżny do najwyżej jednego punktu. W przestrzeniach, które nie są Hausdorffa, mogą istnieć ciągi zbieżne do większej liczby różnych punktów, wtedy granicą nazywa się zbiór wspomnianych punktów.

W uzwarconej przestrzeni topologicznej (metrycznej) na wzór przestrzeni liczb rzeczywistych lub zespolonych wraz ze zdefiniowanymi w odpowiedni sposób otoczeniami otwartymi dołączonych punktów nieskończonych rozbieżność do punktu nieskończonego odpowiada rozbieżności do granicy niewłaściwej ciągów rzeczywistych i zespolonych. Mimo wszystko tak rozszerzonego zbioru nie można traktować jako przestrzeni metrycznej (z przedłużoną metryką naturalną), gdyż nie jest możliwe wyznaczenie odległości między punktem właściwym a nieskończonym.

Historia

Grecki filozof Zenon z Elei znany jest ze sformułowania paradoksów, które wykorzystują przejścia graniczne.

Leukippos, Demokryt, Antyfont, Eudoksos i Archimedes wynaleźli metodę wyczerpywania, która wykorzystuje ciąg przybliżeń umożliwiający wyznaczenie powierzchni bądź objętości. Archimedesowi znane było również sumowanie, które dziś nazywane jest szeregiem geometrycznym.

Newton zajmował się szeregami w swoich dziełach dotyczących analizy szeregów nieskończonych (Analysis with infinite series, napisane w 1669 roku, najpierw krążyło jako manuskrypt, opublikowano w 1711 roku), metodzie fluksji i szeregach nieskończonych (Method of fluxions and infinite series, napisane w 1671 roku, wydane w tłumaczeniu angielskim w 1736 roku; oryginał łaciński wydano znacznie później) i traktacie o krzywych kwadratowych (Tractatus de Quadratura Curvarum, napisane w 1693 roku, a opublikowane w 1704 roku jako dodatek do jego Optiks), później rozważał on rozwinięcie dwumienne $(x + o)^n,$ które linearyzuje biorąc granice, tzn. przyjmując $o \to 0.$

Osiemnastowiecznym matematykom, takim jak Euler, udawało się zsumować pewne szeregi rozbieżne dzięki zatrzymaniu się w odpowiednim momencie; nie interesowali się oni nadto tym, czy granica istnieje, o ile tylko mogła być ona obliczona. Pod koniec XVIII wieku Lagrange w swojej pracy Théorie des fonctions analytiques (1797) stwierdził, że brak rygoru przeszkadza w rozwoju analizy. Gauss w dziele o szeregach hipergeometrycznych (1813) po raz pierwszy zbadał w sposób rygorystyczny pod jakimi warunkami szereg zbiega do granicy.

Współczesną definicję granicy (dla każdego ε istnieje taki wskaźnik N, że…) została podana niezależnie przez Bernarda Bolzano (Der binomische Lehrsatz, Prague 1816, wówczas niezauważona) i Cauchy'ego w jego Cours d'analyse (1821).

Zobacz też

• granica funkcji
• granica ciągów uogólnionych