Granica funkcji

Granica funkcji – nieformalnie, wartość do której obrazy danej funkcji zbliżają się nieograniczenie dla argumentów dostatecznie bliskich wybranemu punktowi. Funkcjonują dwie równoważne definicje podane przez Augustina Louisa Cauchy'ego oraz Heinricha Eduarda Heinego.

Historia

Pojęcie to znane było intuicyjnie już w starożytności. Stosowano je wówczas do obliczania pól figur geometrycznych za pomocą tzw. metody wyczerpywania, która polegała na wpisywaniu w daną figurę geometryczną ciągu figur o znanych polach (pomysł wykorzystywany jest do dzisiaj w nieco zmodyfikowanej formie jako całka oznaczona, np. Lebesgue'a). Łaciński termin oznaczający granicę, „limes”, pojawił się w XVII wieku w pracach Newtona oraz Leibniza w związku z próbami uściślenia tego pojęcia.

Współczesna definicja granicy funkcji powstała w XIX wieku wraz z rozwojem analizy matematycznej. Pierwszą, ścisłą definicję granicy funkcji, sformułowaną za pomocą pojęć arytmetycznych, podał Cauchy, a współczesne brzmienie nadał jej Weierstrass.

Granica w punkcie

Funkcja $f\colon A \to \mathbb R$ określona na zbiorze $A \subseteq \mathbb R$ ma w punkcie skupienia $x_0$ tego zbioru granicę równą $g$, co zapisuje się

$f(x) \to g$ przy $x\to x_0$

lub

$\lim_{x \to x_0}f(x)=g,$

gdy spełnione są warunki określone w jakiejkolwiek z następujących dwóch równoważnych definicji:

definicja Heinego 

dla każdego ciągu $(x_n)$ takiego, że dla dowolnego $n\in\Bbb N\ x_n \in A,\ x_n \ne x_0$ oraz $\lim_{n \to \infty}~x_n = x_0,$ ciąg wartości funkcji $(f(x_n))$ dąży do $g$ przy $n \to \infty;$

definicja Cauchy'ego 

dla każdej liczby $\varepsilon > 0$ istnieje liczba $\delta > 0$ taka, że dla każdego $x \in A$ z nierówności $0 < |x - x_0| < \delta$ wynika nierówność $|f(x) - g| < \varepsilon;$ w zapisie symbolicznym:

$\forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{\delta > 0}\; \forall_{x \in A}\; (0 < |x - x_0| < \delta \implies |f(x) - g| < \varepsilon).$

Granica jednostronna

Granica jednostronna jest wspólną nazwą dla granicy lewostronnej i prawostronnej. Wyżej rozważaną granicę nazywa się czasami w opozycji do ukazanej w tej sekcji obustronną. Jeżeli granice lewo- i prawostronna są sobie równe, to są one równe granicy obustronnej; twierdzenie odwrotne jest prawdziwe, jeżeli obie granice jednostronne istnieją.

Liczba $g$ jest granicą lewostronną funkcji $f$ w lewostronnym punkcie skupienia $x_0$ dziedziny, co zapisuje się

$f(x) \to g$ przy $x \to x_0^-$

lub

$\lim_{x \to x_0^-}~f(x)=g,$

gdy spełnione są warunki określone w jakiejkolwiek z następujących dwu równoważnych definicji:

definicja Heinego 

dla każdego ciągu $(x_n)$ takiego, że dla dowolnego $n\in\Bbb N\ x_n \in A,\ x_n < x_0$ oraz $\lim_{n \to\infty}~x_n = x_0,$ ciąg wartości funkcji $(f(x_n))$ dąży do $g$ przy $n \to \infty;$

definicja Cauchy'ego 

$\forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{\delta > 0}\; \forall_{x \in A}\; (x_0 - \delta < x < x_0 \implies |f(x) - g| < \varepsilon).$

Liczba $g$ jest granicą prawostronną funkcji $f$ w punkcie $x_0$, będącym prawostronnym punktem skupienia dziedziny funkcji $f$, co zapisuje się

$f(x) \to g$ przy $x\to x_0^+$

lub

$\lim_{x \to x_0^+}~f(x) = g,$

gdy spełnione są warunki określone w jakiejkolwiek z następujących dwu równoważnych definicji:

definicja Heinego 

dla każdego ciągu $(x_n)$ takiego, że dla dowolnego $n\in\Bbb N\ x_n \in A,\ x_n > x_0$ oraz $\lim_{n \to \infty}~x_n = x_0,$ ciąg wartości funkcji $(f(x_n))$ dąży do $g$ przy $n \to \infty;$

definicja Cauchy'ego 

$\forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{\delta > 0}\; \forall_{x \in A}\; (x_0 < x < x_0 + \delta \implies |f(x) - g| < \varepsilon).$

Granica niewłaściwa

Funkcja $f$ ma w punkcie $x_0$ granicę niewłaściwą $+\infty$, co zapisuje się

$f(x) \to +\infty$ przy $x\to x_0$

lub

$\lim_{x \to x_0}~f(x) = +\infty,$

gdy spełnione są warunki, określone w jakiejkolwiek z następujących dwu równoważnych definicji:

definicja Heinego 

dla każdego ciągu $(x_n)$ takiego, że $x_n \in A, x_n \ne x_0$ oraz $\lim_{n \to \infty}~x_n = x_0$ ciąg wartości funkcji $(f(x_n))$ dąży do $+\infty$ przy $n \to +\infty;$

definicja Cauchy'ego 

$\forall_{M>0}\; \exists_{\delta > 0}\; \forall_{x \in A}\; (0 < |x - x_0| < \delta \implies f(x) > M).$

Analogicznie definuje się i oznacza się granicę niewłaściwą $-\infty$: trzeba tylko wszędzie zamienić $+\infty$ na $-\infty$, a definicję Cauchy'ego zapisać tak:

$\forall_{M > 0}\; \exists_{\delta > 0}\; \forall_{x \in A}\; (0 < |x - x_0| < \delta \implies f(x) < -M).$

Analogicznie określa się niewłaściwe granice lewo- i prawostronną: trzeba w sposób naturalny skombinować informację z tej i poprzedniej podsekcji.

Granica w nieskończoności

Funkcja $f$ określona dla wszystkich $x > a\; (x < a)$ ma w plus (minus) nieskończoności granicę $g$, co zapisuje się

$f(x) \to g$ przy $x \to +\infty\ (x \to -\infty)$

lub

$\lim_{x \to +\infty}~f(x) = g\ (\lim_{x \to -\infty}~f(x) = g),$

gdy spełnione są warunki, określone w jakiejkolwiek z następujących dwóch równoważnych definicji:

definicja Heinego 

dla każdego ciągu $(x_n)$ takiego, że dla każdego $n\in\Bbb N\ x_n > a\; (x_n < a)$ oraz $x_n \to +\infty\ (x_n \to -\infty),$ ciąg wartości funkcji $f(x_n)$ dąży do $g$ przy $n \to \infty;$

definicja Cauchy'ego

$\forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{\alpha \in \mathbb R}\; \forall_{x > \alpha}\ (\forall_{x < \alpha})\; |f(x) - g| < \varepsilon.$

Granica niewłaściwa w nieskończoności

Funkcja $f$ określona na przedziale $(a, +\infty)$ ma w nieskończoności granicę niewłaściwą $+\infty$, co zapisuje się

$f(x) \to +\infty$ przy $x \to +\infty$

lub

$\lim_{x \to +\infty}~f(x) = +\infty,$

gdy spełnione są warunki określone w jakiejkolwiek z następujących dwóch równoważnych definicji:

definicja Heinego 

dla każdego ciągu $(x_n)$ takiego, że dla każdego $n\in\Bbb N\ x_n>a$ oraz $x_n \to +\infty,$ ciąg wartości funkcji $f(x_n)$ dąży do $+\infty$ przy $n \to \infty;$

definicja Cauchy'ego 

$\forall_{M > 0}\; \exists_{\alpha \in \mathbb R}\; \forall_{x > \alpha}\; f(x) > M.$

Analogicznie definiuje się:

• granicę niewłaściwą $-\infty$ funkcji w $+\infty,$
• granicę niewłaściwą $+\infty$ funkcji w $-\infty,$
• granicę niewłaściwą $-\infty$ funkcji w $-\infty.$

Własności

• Jeśli funkcje $f$ i $g$, określone na zbiorze $A \subseteq \mathbb R$, mają granice właściwe $\lim_{x \to x_0}~f(x) = a$ i $\lim_{x \to x_0}~g(x) = b$, to:

• $\lim_{x \to x_0}~(f(x) \pm g(x)) = a \pm b,$
• $\lim_{x \to x_0}~(f(x) \cdot g(x)) = a \cdot b,$
• $\lim_{x \to x_0}~\tfrac{f(x)}{g(x)} = \tfrac{a}{b},$ gdy $g(x) \ne 0$ oraz $b \ne 0.$
  

Uwaga: twierdzenie to jest prawdziwe również dla granic w nieskończoności.

• Należy pamiętać, że twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe, np. to, że $\lim_{x \to \infty}~\tfrac{\sin x}{x} = 0,$ nie oznacza, że istnieją granice $\lim_{x \to \infty}~\sin x$ czy $\lim_{x \to \infty}~\tfrac{1}{x}.$ W podanym przykładzie granica $\lim_{x \to \infty}~\sin x$ nie istnieje, natomiast $\lim_{x \to \infty}~\tfrac{1}{x} = 0.$

• Twierdzenie o granicy funkcji złożonej.

Jeśli funkcja $f\colon A \to \mathbb R$ ma w punkcie $x_0$ granicę $\lim_{x \to x_0}~f(x) = y_0$, funkcja $g\colon B \to \mathbb R$ ma w punkcie $y_0$ granicę $\lim_{y \to y_0}~g(y) = z_0$, przy czym $x_0$ i $y_0$ są odpowiednio punktami skupienia zbiorów $A \cap f^{-1}(B)$ oraz $B$, przy czym $f(x) \ne y_0$ dla każdego $x$ z pewnego sąsiedztwa punktu $x_0$, to $\lim_{x \to x_0}~(g\circ f)(x) = \lim_{y \to y_0}~g(y) = z_0$.

Wymienione niżej własności są prawdziwe także w przypadku granic jednostronnych i w nieskończoności:

• $\lim_{x \to x_0}~f(x) = \pm\infty \implies \lim_{x \to x_0}~\tfrac{1}{f(x)} = 0,$
• $\lim_{x \to x_0}~f(x) = 0$ oraz $f(x) > 0\; \big(f(x) < 0\big)$ w pewnym sąsiedztwie $x_0 \implies \lim_{x \to x_0}~\tfrac{1}{f(x)} = \pm\infty,$
• $\lim_{x \to x_0}~f(x) = \pm\infty$ oraz $c>0 \implies \lim_{x \to x_0}~cf(x)=\pm\infty,$
• $\lim_{x \to x_0}~f(x) = \pm\infty$ oraz $c<0 \implies \lim_{x \to x_0}cf(x)=\mp\infty,$
• $\lim_{x \to x_0}f(x) = \pm\infty$ oraz $0 < a \le h(x)$ w pewnym sąsiedztwie $x_0 \implies \lim_{x \to x_0}~f(x)\cdot h(x) = \pm\infty,$
• $\lim_{x \to x_0}f(x) = \pm\infty$ oraz $h(x) \le a < 0$ w pewnym sąsiedztwie $x_0 \implies \lim_{x \to x_0}~f(x)\cdot h(x) = \mp\infty.$

Zobacz też

• granica ciągu
• granica dolna i górna
• reguła de l'Hospitala
• twierdzenie o trzech ciągach (funkcjach)

Bibliografia

• Encyklopedia szkolna – matematyka. Warszawa: WSiP, 1996. ISBN 83-02-02551-8.