Grupa (matematyka)

Grupa – jedna ze struktur algebraicznych: zbiór niepusty, na którym określono pewne łączne działanie dwuargumentowe, dla którego istnieje element odwrotny do każdego elementu oraz element neutralny. Można powiedzieć, że grupą jest monoid, w którym każdy element ma element odwrotny. Dział matematyki badający własności grup nazywa się teorią grup.

Rys historyczny

Jako pierwsi grupy (nie posługując się jeszcze ustaloną nazwą) rozważali Lagrange i Ruffini, którzy przy rozwiązywaniu równań algebraicznych za pomocą pierwiastników badali grupy permutacji zbiorów skończonych. Badania te były kontynuowane przez Nielsa Abela (1824) i Évariste'a Galois, w którego pracach (1830) pojęcie grupy zostało wprowadzone świadomie (jako grupa przekształceń). Niezależnie i z innych przyczyn teoria grup pojawiła się w geometrii jako sposób klasyfikacji różnych geometrii, które pojawiły się w XIX wieku. Problem ustalenia związków między nimi rozwiązał w 1872 roku Felix Klein w Programie erlangeńskim, przyjmując za podstawę pojęcie grupy przekształceń. Trzecim źródłem pojęcia grupy jest teoria liczb. Gauss w swojej pracy Disquisitiones Arithmeticae (Rozważania arytmetyczne) zajmuje się addytywnymi i multiplikatywnymi grupami reszt modulo $n$ stosując rozumowania teorii grup. Jako pierwszy nazwy groupe użył Galois podczas określania niektórych własności grup permutacji zbiorów skończonych odnosząc je jednak raczej do samego zbioru. Opracowane przez niego własności posłużyły następnie Arthurowi Cayleyowi w 1854 do zdefiniowania abstrakcyjnego pojęcia grupy.

Różne definicje grupy

Definicja 1

Grupą nazywamy zbiór $G$ z działaniem dwuargumentowym spełniającym następujące warunki:

1. $\forall_{a, b, c \in G}\; (a b) c = a (b c)$ zapewniający łączność działania
2. $\exists_{e \in G}\; \forall_{a \in G}\; e a = a e = a$, gdzie $e$ nazywamy elementem neutralnym działania,
3. $\forall_{a \in G}\; \exists_{b \in G}\; a b = b a = e$, gdzie $b$ nazywamy elementem odwrotnym do elementu $a$. Element odwrotny jest oznaczany przez $a^{-1}$.

Jeżeli działanie w grupie $G$ spełnia warunek: :$\forall_{a,\; b \in G}\; a b = b a$, to grupę $G$ nazywamy grupą przemienną bądź abelową.

Uwagi

• Grupa można uważać za zbiór, w którym określone są trzy operacje n-arne: łączna operacja 2-arna, operacja 1-arna - element przeciwny i operacja 0-arna - element neutralny.
• W definicji wystarczy założyć, że element neutralny i element odwrotny są oba prawostronne lub oba lewostronne.
• W definicji wystarczy, poza istnieniem działania dwuelementowego łącznego, założyć istnienie dla każdego $a \in G$ takiego elementu $a^{-1} \in G$, który spełnia warunek:

$\forall_{a, b \in G} a^{-1} (ab) = b = (ba) a^{-1}$.

• Warunek łączności sprawia, że wyrażenia postaci $a b c$ mają sens bez użycia nawiasów, gdyż niezależnie od położenia nawiasów wynik działania jest taki sam.
• Grupa ma dokładnie jeden element neutralny, bo jeśli $e^'$ i $e$ są dwoma elementami neutralnymi grupy, to:

$e^' = e^' e = e$.

• Element odwrotny jest wyznaczony jednoznacznie. Jeśli $a^', a^{''}$ są dwoma elementami odwrotnymi do $a$, to:

$a^{''} = a^{''} e = a^{''} (a a^') = (a^{''} a) a^' = e a^' = a^'$

• Elementem odwrotnym do elementu odwrotnego danego elementu jest ten sam element, niech $a^{-1}$ oznacza element odwrotny do $a$:

  $(a^{-1})^{-1} = a$ (operacja 1-arna przyporządkowująca każdemu elementowi grupy jego element odwrotny jest inwolucją).

Definicja 2

Grupą nazywamy zbiór $G$ z trzema działaniami dwuargumentowymi ab, a\b i a/b spełniającymi następujące warunki:

1. $\forall_{a, b, c \in G}\; (a b) c = a (b c)$,
2. $\forall_{a, b \in G}\; a (b \backslash a) = b, (b / a) a = b$,
3. $\forall_{a, b \in G}\; a b \backslash a = b, b a / a = b$.

Uwagi

• $a \backslash b = a^{-1} b, a / b = b a^{-1}$.
• Do zdefiniowania grupy wystarczy operacja 2-arna a/b. Jeżeli $a / b = a\; b\; \omega$, to:

$e = a\; a\; \omega$,

$a^{-1} = a\; a\; \omega\; a\; \omega$,

$a b = a\; b\; b\; \omega\; b\; \omega\; \omega$.

• Operacja $\omega$ umożliwia zdefiniowanie grupy za pomocą jednego aksjomatu:

$\forall_{a, b, c\; \in\; G}\; a\; a\; a\; \omega\; b\; \omega\; c\; \omega\; a\; a\; \omega\; c\; \omega\; \omega\; \omega = b$.

Zapis

Istnieją dwa główne sposoby zapisu grup: multyplikatywny, w którym korzysta się z symboliki mnożenia, oraz addytywny, wykorzystujący oznaczenia używane w dodawaniu. W zapisie multyplikatywnym, tak jak w zwykłym mnożeniu, znak kropki zwykle opuszcza się. Również samo działanie w grupie otrzymuje wtedy nazwę odpowiednio mnożenia lub dodawania. W tabelce znajdują się standardowe oznaczenia i nazwy dla obu rodzajów zapisu.

	zapis multyplikatywny	zapis addytywny
działanie	$\cdot$ (mnożenie)	$+$ (dodawanie)
element odwrotny do $a$	$a^{-1}$ (odwrotność)	$-a$ (element przeciwny)
element neutralny	$1$ (jedynka) lub $e$	$0$ (zero)
$n$-krotne działanie elementu	$a^n$ (potęga)	$na$ (wielokrotność)
iloczyn prosty/suma prosta	$\times$	$\oplus$

Warto pamiętać, iż zapis addytywny jest stosowany zwyczajowo w przypadku grup przemiennych (ma to swoje uzasadnienie w definicji pierścienia, czy ciała). W dalszej części artykułu stosowany będzie zapis multyplikatywny.

Podobne struktury

Niech $G$ będzie dowolnym zbiorem z określonym na nim działaniem dwuargumentowym $\star$. Gdy spełniona jest tylko część aksjomatów grupy, otrzymuje się szereg podobnych struktur badanych w matematyce. $(G, \star)$ jest:

• grupoidem bez dodatkowych założeń,
• półgrupą, gdy działanie $\star$ jest łączne,
• monoidem, gdy działanie $\star$ półgrupy ma element neutralny; nazywa się je także „półgrupą z jedynką”,
• quasi-grupą, gdy dla każdego elementu istnieje element do niego odwrotny,
• pętlą (lupą), gdy działanie $\star$ w quasi-grupie ma element neutralny.
• grupą przemienną (abelową), gdy działanie $\star$ w grupie jest przemienne.

Pojęcia

Rząd grupy

Moc zbioru elementów grupy $G\;$ nazywamy jej rzędem i oznaczamy przez $| G |$ lub $\# G$. Jeżeli rząd grupy jest skończony, to grupę nazywamy grupą skończoną. W przeciwnym wypadku jest to grupa nieskończona.

Zbiór generatorów

Niech $G$ będzie grupą i $A\subset G$. Niech $\mathcal{F}_A$ będzie rodziną wszystkich podgrup $H$ grupy $G$ takich, że $A\subset H$. Grupa $H_0 = \bigcap_{H \in \mathcal{F}} H$ jest najmniejszą (w sensie zawierania) podgrupą grupy $G$ zawierającą zbiór $A$. Podgrupę $H_0$ nazywamy podgrupą grupy $G$, generowaną przez zbiór $A$.

Grupę generowaną przez zbiór $A$ oznacza się przez $H_0=\langle A \rangle$. Oczywiście $\langle \varnothing \rangle =\{1\}$. Gdy $A=\{a\}$, to $\langle A \rangle = \langle \{a\} \rangle$ oznaczamy $\langle a \rangle$ i nazywamy podgrupą cykliczną generowaną przez $a\in G$.

Jeśli dla podzbioru $A\subset G$ mamy $\langle A \rangle = G$, to mówimy, że $A$ jest zbiorem generatorów grupy $G$ lub $A$ generuje $G$. Oczywiście $\langle G \rangle = \langle G\setminus \{1\} \rangle$.

Niech $G$ będzie grupą i $A\subset G$. Wtedy:

$\langle A \rangle=\{a_1^{x_1}\cdot a_2^{x_2}\cdot\ldots\cdot a_s^{x_s}\colon a_1,\ldots, a_s\in A, x_1, \ldots, x_s\in \mathbb{Z}, s\in\mathbb{N}\}$.

Oczywiście, jeśli $A=\{a\}$, to $\langle a \rangle =\{a^x\colon x\in\mathbb{Z}\}$

Jeśli $A$ jest zbiorem skończonym oraz $\langle A \rangle = G$, to mówimy, że $G$ jest skończenie generowana.

Grupę generowaną przez zbiór jednoelementowy nazywamy grupą cykliczną.

Rząd elementu

Rzędem elementu $a$ grupy skończonej $G$ nazywa się najmniejsze takie $n$, że zachodzi $a^n=e$. Rząd elementu oznacza się przez $o(a)$. Równoważnie: jest to rząd podgrupy generowanej przez dany element.

Stopień grupy

Niech $G$ będzie grupą skończoną. Minimalnym (wiernym) stopniem tej grupy nazywamy najmniejszą liczbę $n \in \mathbb N$ taką, że $G \le S_n$, gdzie $S_n$ jest grupą symetryczną rzędu $n$. Dowolne takie zawieranie nazywa się minimalną (wierną) reprezentacją grupy $G$. Minimalny stopień oznaczamy $\mu(G)$.

Fakty

• $\forall_{g \in G}\; \forall_{m,\; n \in \mathbb Z}\; g^{m+n} = g^m g^n$
• $\forall_{g \in G}\; \forall_{m,\; n \in \mathbb Z}\; (g^m)^n = g^{mn}$
• $\forall_{g, h \in G}\; (gh)^{-1} = h^{-1} g^{-1}$, ponieważ

  $(gh)(h^{-1} g^{-1}) = \left( (gh) h^{-1} \right) g^{-1} = \left( g (hh^{-1}) \right) g^{-1} = g g^{-1} = e$.

Grupy jako składowe pierścieni

Niech $(R, +, \cdot)$ będzie dowolnym pierścieniem (łącznym z jedynką, a nawet ciałem). Przez $R^*$ oznaczać będziemy zbiór elementów odwracalnych tego pierścienia (jeżeli $R$ jest ciałem, to $R^* = R \setminus \{0\}$, gdzie $0$ jest elementem neutralnym dodawania).

Grupę $(R, +)$ nazywamy grupą addytywną ciała $R$, a grupę $(R^*, \cdot)$ grupą multiplikatywną tego ciała.

Grupy nieskończone

Zatem grupy $(\mathbb Q, +),\; (\mathbb R, +),\; (\mathbb C, +)$, czyli zbiory liczb wymiernych, rzeczywistych, zespolonych z działaniem dodawania w tych zbiorach, są grupami addytywnymi odpowiednio ciał: liczb wymiernych, rzeczywistych, zespolonych. Podobnie grupy $(\mathbb Q^*, \cdot),\; (\mathbb R^*, \cdot),\; (\mathbb C^*, \cdot)$.

Grupą nieskończoną jest też zbiór liczb całkowitych z dodawaniem: $(\mathbb Z, +)$, nie jest nią jednak $(\mathbb Z^*, \cdot)$ – nie istnieje element odwrotny do elementu $2$.

Pierścień klas reszt

Niech $n > 1$ będzie liczbą naturalną. Możemy wówczas wyróżnić grupy addytywną i multiplikatywną modulo $n$ liczb całkowitych:

• $(\mathbb Z_n, +)$, czyli zbiór liczb całkowitych z przedziału $[0, n)$ z działaniem dodawania modulo $n$ (addytywna) oraz
• $(\mathbb Z^*_n, \cdot)$, czyli zbiór liczb całkowitych z przedziału $[1, n)$, względnie pierwszych z $n$ z działaniem mnożenia modulo $n$ (multiplikatywna).

Przykłady

• Zbiór $\{-1, 1\}$ z działaniem mnożenia jest grupą izomorficzną z grupą cykliczną (z addytywną grupą klas reszt) 2-elementową, opisaną wyżej, dla n=2.
• Zbiór wektorów na płaszczyźnie euklidesowej z działaniem dodawania wektorów.
• Zbiór izometrii płaszczyzny z działaniem składania przekształceń.
• Grupa permutacji $S_X$ dowolnego zbioru $X$.
• $(\mathbb Q^+, \cdot), (\mathbb R^+, \cdot)$, czyli podzbiory odpowiednich ciał bez liczb ujemnych z naturalnym działaniem mnożenia.

Zobacz też

• struktura matematyczna
• badanie grupy:
  • centralizator i normalizator
  • działanie grupy na zbiorze
  • podgrupa normalna
  • grupa ilorazowa
  • iloczyny grup
  • komutant grupy
  • morfizmy grup
  • podgrupa charakterystyczna
  • podgrupa
• grupy o specjalnych własnościach:
  • grupa wolna
  • p-grupa
• ważne rodzaje grup
  • grupa permutacji
  • grupa topologiczna
• twierdzenia:
  • Cauchy'ego
  • Cayleya
  • Lagrange'a
  • Sylowa

Bibliografia

1. Agnieszka Bojanowska, Paweł Traczyk: Algebra I. skrypt WMIM, 2005. 
2. Czesław Bagiński: Wstęp do teorii grup. SCRIPT, 2005. ISBN 83-904564-9-4. 
3. D. Easdown, C. E. Praeger: On minimal faithful permutation representations of finite groups.. Bull. Aust. Math. Soc. 38, No.2, 1988, s. 207-220. ISSN 0004-9727. [1]
4. Witold Więsław: Matematyka Hoene-Wrońskiego za jego czasów. Wrocław: Instytut Matematyczny UW. [2]
5. Jerzy Browkin: Teoria reprezentacji grup skończonych. Warszawa: PWN, 2010. ISBN 978-83-01-16051-7. 
6. Marshall Hall, Jr.: The theory of groups. Moskwa: 1962.  (ros.)
7. Aleksander Kurosz: Algebra ogólna. Wykłady z lat 1969-1970. Moskwa: 1974.  (ros.)