Grupa Coxetera

Grupą Coxetera - grupa z wyróżnionym układem generatorów $\{ r_i : i \in I\}$, którego elementy spełniają następujący układ relacji:

$(r_i r_j)^{n_{ij}} = 1 \text{ dla } i, j \in I,$

gdzie

$n_{ii} = 1\;$, czyli $r_i^2 = 1$ dla dowolnego $i \in I$,

$n_{ij} = n_{ji} \in \mathbb{Z} \cup \{\infty\}$ dla $i, j \in I, i \neq j$, przy czym $n_{ij} \geqslant 2$; dla $n_{ij} = \infty$ nie istnieje relacja między $r_i$ a $r_j$.

Nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska Harolda Coxetera. Grupy tego rodzaju są rozważane w teorii grup dyskretnych jako uogólnienie grup odbić generowanych przez odbicia względem hiperpowierzchni w przestrzeni euklidesowej. Każda grupa odbić jest grupą Coxetera, jeśli jej generatorami są odbicia względem hiperpowierzchni ograniczających wielościan fundamentalny.

Macierz $(n_{ij})$, gdzie $i, j \in I$ nazywa się macierzą Coxetera danej grupy Coxetera. Macierz ta i sama grupa może być zadana za pomocą grafu Coxetera - grafu o wierzchołkach $\{a_i: i \in I\}$, w którym wierzchołki $a_i$ i $a_j$ są połączone $(n_{ij} - 2)$-krotną krawędzią, jeśli $n_{ij} < \infty$ (w szczególności nie są w ogóle połączone, jeśli $n_{ij} = 2$) i są połączone grubą krawędzią, jeśli $n_{ij} = \infty$. Czasem zamiast łączyć wierzchołki grafu krawędziami wielokrotnymi, łączy się je jedną krawędzią ze znakiem $n_{ij}$ nad nią.

Własności

• Jeśli $n_{ij} = 2$, to mnożenie $r_i$ przez $r_j$ jest przemienne.
• $n_{ij}$ jest rzędem elementu $r_i r_j$.

Przykłady

• Każda grupa generowana przez dwa elementy rzędu 2 jest grupą Coxetera o macierzy postaci $\left[\begin{smallmatrix} 2 & m \\ m & 2 \end{smallmatrix}\right]$. Jej graf Coxetera:

• Grupa symetryczna $\mathfrak{S}_n$ jest grupą Coxetera względem generatorów $r_i = (i, i + 1)$ dla i = 1, 2, ... n - 1 ($r_i$ jest transpozycją elementów $i$ i $i + 1$). Jej graf Coxetera:

• Macierzą Coxetera grupy $\mathfrak{S}_4$ jest:

$\begin{bmatrix} 2 & 3 & 2\\ 3 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 2 \end{bmatrix}$

• Grupa $\mathit{PGL} = \mathit{GL}_2(\mathbb{Z})/\{\pm 1\}$ jest grupą Coxetera względem generatorów:

$r_1 = \bigg\{\pm \begin{bmatrix} - 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\bigg\}, r_2 = \bigg\{\pm \begin{bmatrix} - 1 & 0\\ 1 & 1 \end{bmatrix}\bigg\}, r_3 = \bigg\{\pm \begin{bmatrix} 0 & - 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}\bigg\}.$

Jej graf Coxetera:

Skończone grupy Coxetera

H. S. M. Coxeter w roku 1934 znalazł wszystkie grupy odbić w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej $E^n\;$ i wykazał, że są one grupami Coxetera. W następnej pracy wykazał, że każda skończona grupa Coxetera jest izomorficzna z pewną grupą odbić w $E^n\;$, której elementy mają wspólny punkt stały. W ten sposób otrzymał klasyfikację grup skończonych Coxetera.

Grafy (diagramy) Coxetera skończonych grup Coxetera.

Nieskończone grupy Coxetera

Wśród nieskończonych grup Coxetera można wyróżnić grupy paraboliczne, izomorficzne z pewną grupą odbić w przestrzeni euklidesowej $E^n$ i grupy hiperboliczne, izomorficzne z pewną grupą odbić przestrzeni hiperbolicznej $L^n$, elementy których nie mają wspólnej hiperpłaszczyzny niezmienniczej o wymiarze mniejszym od n (w przypadku hiperbolicznym za hiperpłaszczyznę należy uważać również punkt w nieskończoności).

Wszystkie paraboliczne grupy Coxetera zostały znalezione przez H. S. M. Coxetera, który udowodnił, że są to afiniczne grupy Weyla z teorii półprostych grup Liego.

Diagramy Coxetera afinicznych grup Weyla.

Związek z wielościanami

Jeśli przestrzeń jest n-wymiarową sferą, przestrzenią euklidesową lub przestrzenią hiperboliczną, to grupa odbić jest generowana przez odbicia r_i względem hiperpowierzchni H_i, ograniczających wielościan fundamentalny P tej grupy. Względem tego układu generatorów grupa odbić jest grupą Coxetera o relacjach zdefiniowanych następująco:

1. jeśli ściany $H_i \cap P\;$ i $H_j \cap P\;$ przylegają do siebie i kąt między nimi jest równy $\alpha_{ij}\;$, to ${r_i r_j}^{n_{ij}} = 1$, gdzie $n_{ij} = \frac{\pi}{\alpha_{ij}}\;$,
2. jeśli ściany $H_i \cap P\;$ i $H_j \cap P\;$ nie przylegają do siebie, to $n_{ij} = \infty\;$.

Wielościany fundamentalne grup Coxetera nazywają się wielościanami Coxetera. Wielościanami Coxetera można wypełnić przestrzeń. Mają więc związek z parkietażami i krystalografią.

Przykłady

• Wielościany Coxetera w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej:

• 2n-komórka foremna $\{(x_1, \cdots, x_n): 0 \leqslant x_i \leqslant 1, i = 1, \cdots, n\}$
• (n + 1)-komórka (n-sympleks) $\{(x_1, \cdots, x_n): 0 \leqslant x_1 \cdots \leqslant x_n \leqslant 1\}$

• Wielościany Coxetera w n-wymiarowej sferze:

• n-wymiarowy sympleks foremny o boku $\pi / 2$

• Wielościany Coxetera w n-wymiarowej przestrzeni hiperbolicznej:

• k-wielokąt foremny o kącie $\pi / m$ w przestrzeni 2-wymiarowej
• dwunastościan foremny (dodekaedr) prostokątny w przestrzeni 3-wymiarowej
• 120-ścian foremny prostokątny w przestrzeni 4-wymiarowej

Bibliografia

1. И. М. Виноградов (red.): Математическая энциклопедия. T. 2. Москва: Советская энциклопедия, 1979. 
2. Harold Scott MacDonald Coxeter. Discrete groups generated by reflections. „Ann. of Math.”. 35, s. 588-621, 1934. 
3. Harold Scott MacDonald Coxeter. The groups determinated by the relations of the form $\scriptstyle{R_i^2 = (R_iR_j)^{k_{ij}} = 1}$. „J. London Math. Soc.”. 10, s. 21-25, 1935. 
4. Harold Scott MacDonald Coxeter, William Moser: Generators and relationsfor discrete groups. Berlin Heidelberg New York: Springer Verlag, 1972. 
5. Nicolas Bourbaki: Groupes et algebres de Lie. T. XXXIV (rozdz. IV-VI). Paris: Hermann, 1968.