Grupa Liego

W matematyce, grupa Liego to grupa, która jest zarazem gładką rozmaitością. Można na nią patrzeć jako na zbiór z dodatkowymi strukturami rozmaitości i grupy. Przykładem grupy Liego jest grupa obrotów przestrzeni trójwymiarowej. Grupy Liego są często spotykane w analizie matematycznej, fizyce i geometrii. Zostały po raz pierwszy wprowadzone przez Sophusa Liego w 1870 roku do badania równań różniczkowych.

Definicja grupy Liego

Grupa Liego to gładka rozmaitość (klasy $C^\infty$) skończonego wymiaru, która jest grupą, a działanie grupowe (np. mnożenie) i branie elementu odwrotnego są odwzorowaniami gładkimi.

Grupa Liego ma strukturę rozmaitości (np. snop funkcji gładkich lub atlas) i strukturę grupy (czyli działanie, wyróżniony element neutralny itd. )

Zazwyczaj określa się, że grupa Liego musi być rozmaitością rzeczywistą skończonego wymiaru. Istnieje kilka podobnych pojęć.

• Zespolona grupa Liego jest zdefiniowana w ten sam sposób, tyle że zamiast rozmaitości rzeczywistej jest rozmaitość zespolona (przykład: SL(2,C)).
• Nieskończeniewymiarowa grupa Liego to grupa Liego, która jest rozmaitością o nieskończonym wymiarze.

Algebra Liego powiązana z grupą Liego

Z każdą grupą Liego G możemy powiązać algebrę Liego nad przestrzenią wektorową styczną do przestrzeni G w jedynce (elemencie neutralnym). Nieformalnie możemy myśleć o elementach algebry Liego jako o elementach grupy, które są "nieskończenie blisko" jedynki, a nawias Liego jest generowany przez komutator takich "nieskończenie małych" elementów.

Przykłady:

• Algebra Liego przestrzeni wektorowej Rⁿ to po prostu Rⁿ z nawiasem Liego zdefiniowanym

[A,B]=0.

(w ogólności nawias Liego jest zawsze 0 wtedy i tylko wtedy, gdy grupa Liego jest abelowa)

• Algebra Liego pełnej grupy liniowej GL(n,R) macierzy odwracalnych to przestrzeń wektorowa M_n(R) kwadratowych macierzy n×n z nawiasem Liego

[A,B]=AB-BA

Zobacz też

• Algebra Liego
• Grupa topologiczna
• Struktura algebraiczna