Grupa przemienna

Grupa przemienna (abelowa) – grupa, w której działanie jest przemienne. Zwyczajowo, w przypadku grup przemiennych stosuje się zapis addytywny.

Nazwa abelowa pochodzi od nazwiska Nielsa Abela, norweskiego matematyka, w którego pracach implicite pojawia się to pojęcie. Grupę, która nie jest przemienna nazywamy nieprzemienną lub nieabelową.

Definicja

Grupę $(G, +)$ nazywamy abelową, gdy dla każdych $a,b\in G$:

$a + b = b + a$.

Przykłady

• Każda grupa cykliczna jest abelowa, ponieważ dla $x, y \in G$ zachodzi $a^m a^n = a^{m+n} = a^{n+m} = a^n a^m = yz$. Dlatego przemienne są liczby całkowite $\mathbb Z$ z dodawaniem, podobnie jak liczby całkowite modulo n $\mathbb Z/n\mathbb Z$ (tzw. addytywna grupa klas reszt).
• Każdy pierścień jest grupą abelową ze względu na działanie dodawania. W pierścieniu przemiennym elementy odwracalne są multiplikatywną grupą abelową. W szczególności grupa addytywna liczb rzeczywistych (tzn. z dodawaniem) jest grupą abelową, podobnie multiplikatywna (tzn. niezerowe z mnożeniem) jest abelowa.
• Grupa symetryczna $\operatorname{Sym}(n)$ dla $n \leqslant 2$ jest przemienna, co nie zachodzi już dla $n>2$.
• Grupa addytywna macierzy ustalonego wymiaru nad danym ciałem jest przemienna; jednakże macierze, nawet odwracalne, z mnożeniem nie są grupą abelową, ponieważ mnożenie macierzy nie jest w ogólności przemienne.
• Grupa czwórkowa Kleina będąca najmniejszą niecykliczną grupą abelową.

Własności

• Jeżeli $G$ jest przemienna, to dla każdego $a, b \in G$ oraz $n \in \mathbb Z$ zachodzi

  $(ab)^n = a^n b^n$.

• Każda podgrupa grupy abelowej jest normalna, dlatego z każdej z nich można utworzyć grupę ilorazową. Podgrupy, ilorazy i iloczyny proste grup przemiennych są przemienne.
• Jeżeli $n$ jest liczbą naturalną, a $x$ elementem grupy abelowej $G$ w zapisie addytywnym, to $nx$ można zdefiniować jako $x + x + \dots + x$ (n czynników) oraz $(-n)x = -(nx)$. W ten sposób $G$ staje się modułem nad pierścieniem liczb całkowitych $\mathbb Z$. W rzeczywistości, moduły nad $\mathbb Z$ mogą być utożsamiane z grupami abelowymi.
• Twierdzenia o grupach abelowych (które są modułami nad dziedziną ideałów głównych $\mathbb Z$) mogą być częstokroć uogólnione do twierdzeń o modułach nad dowolnymi dziedzinami ideałów głównych. Typowym przykładem jest klasyfikacja skończenie generowanych grup abelowych.
• Jeżeli $f, g\colon G \to H$ są homomorfizmami między grupami abelowymi, to ich suma $f+g$ określona „punktowo” wzorem $(f+g)(x) = f(x) + g(x)$ również jest homomorfizmem. (Nie jest to prawdą, jeśli $H$ nie jest abelowa). Zbiór $\operatorname{Hom}(G, H)$ wszystkich homomorfizmów grupowych z $G$ w $H$ sam staje się grupą przemienną.
• Podobnie do wymiaru przestrzeni liniowych, każda grupa przemienna ma rangę. Jest ona zdefiniowana jako liczba kardynalna największego zbioru liniowo niezależnych elementów grupy. Liczby całkowite i liczby wymierne, jak również każda podgrupa liczb wymiernych mają rangę równą jeden.
• Jeżeli dla każdego $a\in G$ zachodzi $a^2=e$ (rząd każdego elementu jest co najwyżej 2), to $G$ jest przemienna. Jeżeli dla każdego $a\in G$ zachodzi $a^n=e$ i $n \geqslant 3$, to $G$ nie musi być abelowa (przykład to grupa macierzy kwadratowych $n\times n$, trójkątnych górnych, które na głównej przekątnej mają same jedynki, a nad główną przekątną mają elementy z ciała $\mathbb{Z}_p$, gdzie $p\geqslant 3$ jest liczbą pierwszą dzielącą n).

Skończone grupy przemienne

Twierdzenie o klasyfikacji skończonych grup przemiennych mówi, że każda skończona grupa przemienna może być wyrażona jako suma prosta podgrup cyklicznych rzędu będącego liczbą pierwszą. Jest to przypadek szczególny twierdzenia o klasyfikacji skończenie generowanych grup przemiennych w przypadku, gdy rozważana grupa ma beztorsyjną rangę równą zeru.

Grupa $\mathbb Z_{mn}$ jest izomorficzna z iloczynem prostym $\mathbb Z_m$ przez $\mathbb Z_n$ wtedy i tylko wtedy, gdy $m$ i $n$ są względnie pierwsze.

Dlatego można zapisać dowolną skończoną grupę abelową $G$ jako iloczyn prosty postaci

$\mathbb Z_{k_1} \oplus \cdots \oplus \mathbb Z_{k_u}$

na dwa różne sposoby:

• gdzie liczby $k_1, \cdots, k_u$ są potęgami liczb pierwszych
• gdzie $k_1$ dzieli $k_2$, które dzieli $k_3$ i tak dalej, aż do $k_u$.

Na przykład $\mathbb Z_{15}$ może być wyrażona jako suma prosta dwóch podgrup cyklicznych rzędów odpowiednio 3 i 5: $\mathbb Z_{15} \simeq \{0, 5, 10\} \oplus \{0, 3, 6, 9, 12\}$. To samo można powiedzieć o dowolnej grupie przemiennej rzędu 15, co prowadzi do ciekawego wniosku, iż wszystkie grupy przemienne rzędu 15 są izomorficzne.

Innym przykładem jest fakt, że każda grupa abelowa rzędu 8 jest izomorficzna z $\mathbb Z_8$ (liczby całkowite od 0 do 7 z dodawaniem modulo 8), $\mathbb Z_4 \oplus \mathbb Z_2$ (nieparzyste liczby całkowite od 1 do 15 z mnożeniem modulo 16) bądź $\mathbb Z_2 \oplus \mathbb Z_2 \oplus \mathbb Z_2$.

Zobacz też listę małych grup zawierającą skończone grupy przemienne rzędu 16 lub mniejszego.

Automorfizmy skończonych grup przemiennych

Twierdzenie klasyfikacji można zastosować do zliczania (czasami również wyznaczenia) automorfizmów danej skończonej grupy przemiennej $G$. Aby tego dokonać, należy skorzystać z faktu (który nie zostanie tu udowodniony), że jeżeli $G$ rozkłada się na sumę prostą $H \oplus K$ podgrup o względnie pierwszych rzędach, to $\operatorname{Aut}(H \oplus K) \simeq \operatorname{Aut}(H) \oplus \operatorname{Aut}(K)$.

Wtedy twierdzenie o klasyfikacji mówi, że aby wyznaczyć grupę automorfizmów grupy $G$ wystarczy wyznaczyć grupy automorfizmów p-podgrup Sylowa (tj. wszystkich sum prostych podgrup cyklicznych, z których rząd każdej jest potęgą $p$). Dalej $p$ jest ustalone i założono, że wykładniki $e_i$ czynników cyklicznych p-podgrup Sylowa są ułożone w porządku rosnącym:

$e_1 \leqslant e_2 \leqslant \ldots \leqslant e_n$

dla pewnego $n \geqslant 0$. Szukane są automorfizmy grupy

$\mathbb Z_{p^{e_1}} \oplus \ldots \oplus \mathbb Z_{p^{e_n}}$.

Przypadek szczególny, dla $n = 1$, czyli taki w którym istnieje tylko jeden cykliczny czynnik mający potęgę będącą liczbą pierwszą w p-podgrupie Sylowa $P$. Wtedy można skorzystać z teorii automorfizmów skończonych grup cyklicznych. Kolejny przypadek szczególny obejmuje dowolne $n$, ale $e_i = 1$ dla $1 \leqslant i \leqslant n$. Tutaj $P$ jest postaci

$\mathbb Z_p \oplus \ldots \oplus \mathbb Z_p$,

tak więc elementy tej podgrupy można postrzegać jako składające się na n-wymiarową przestrzeń liniową nad skończonym ciałem o $p$ elementach $F_p$. Automorfizmami tej grupy są więc odwracalne przekształcenia liniowe, dlatego

$\operatorname{Aut}(P) \simeq \operatorname{GL}(n, F_p)$,

o których łatwo pokazuje się, że mają rząd

$|\operatorname{Aut}(P)| = (p^n - 1) \cdots (p^n - p^{n-1})$.

W najogólniejszym przypadku, gdzie tak $e_i$ jak i $n$ są dowolne, wyznaczenie grupy automorfizmów jest trudniejsze. Wiadomo jednak, że zdefiniowanie

$d_k = \max \{r\colon e_r = e_k\}$

oraz

$c_k = \min \{r\colon e_r = e_k\}$

daje w szczególności $d_k \geqslant k$, $c_k \leqslant k$ oraz

$|\operatorname{Aut}(P)| = \left(\prod_{k = 1}^n~{p^{d_k} - p^{k-1}}\right) \left(\prod_{j = 1}^n~{(p^{e_j})^{n - d_j}}\right) \left(\prod_{i = 1}^n~{(p^{e_i - 1})^{n - c_i+1}}\right)$.

Można sprawdzić, że wzór ten uogólnia rzędy z poprzednich przykładów (zob. [Hillar, Rhea]).

Związki z innymi działami matematyki

Zbiór wszystkich grup abelowych wraz z homomorfizmem między nimi stanowi kategorię $\mathbf{Ab}$, prototyp kategorii abelowej.

Prawie wszystkie dobrze znane struktury algebraiczne różne od algebr Boole'a, są nierozstrzygalne. Dlatego zaskakującym jest, że studentka Alfreda Tarskiego, Wanda Szmielew, udowodniła (1955), że teoria pierwszego rzędu grup abelowych, w przeciwieństwie do nieabelowych, jest rozstrzygalna. Rozstrzygalność ta, wraz z podstawowym twierdzeniem skończonych grup przemiennych opisanych wyżej podkreślają pewne sukcesy teorii grup abelowych, jednakże nadal istnieje wiele obszarów w których prowadzi się badania:

• wśród beztorsyjnych grupa abelowych skończonego rzędu, dobrze zrozumiane są tylko przypadki grup skończenie generowanych oraz rangi 1;
• istnieje wiele nierozwiązalnych problemów w teorii beztorsyjnych grup abelowych nieskończonej rangi;
• choć przeliczalne torsyjne grupy abelowe są dobrze rozumiane dzięki prostym przedstawieniom i niezmiennikom Ulma, to badania nad przeliczalnymi grupami mieszanymi są o wiele mniej zaawansowane;
• o wielu łagodnych rozszerzeniach teorii pierwszego rzędu grup abelowych wiadomo jest, iż są nierozstrzygalne
• Skończone grupy przemienne są przedmiotem badań obliczeniowej teorii grup.

Co więcej, grupy abelowe nieskończonego rzędu prowadzą, całkiem zaskakująco, do poważnych pytań dotyczących teorii mnogości o której powszechnie uważa się, że jest podstawą całej matematyki. Przykładem może być problem Whiteheada: czy wszystkie grupy Whiteheada nieskończonego rzędu są także grupami abelowymi wolnymi? W latach siedemdziesiątych ubiegłego wieku Saharon Shelah udowodnił następujące fakty o problemie Whiteheada:

• jest on nierozstrzygalny w ZFC, tradycyjnej aksjomatycznej teorii zbiorów z której wyprowadzona może być prawie cała współczesna matematyka;
• nierozstrzygalny również, jeżeli ZFC rozszerzy się przez przyjęcie uogólnionej hipotezy continuum jako aksjomat;
• rozstrzygalny, jeśli ZFC rozszerzy się o aksjomat konstruowalności.

Unormowane grupy abelowe

Pojęcie normy określanych na przestrzeniach liniowych można przenieść na grunt teorii grup abelowych. Odmienność struktury przestrzeni liniowej oraz grupy abelowej wymaga modyfikacji drugiego aksjomatu normy, jednak obydwa odwzorowania – normy przestrzeni liniowej i normy grupy abelowej – mają wiele korespondujących ze sobą własności i dlatego są ciekawe z punktu widzenia matematyki.

Niech $G$ będzie grupą abelową. Odwzorowanie $\|\cdot\|\colon G \to [0, \infty),$ które dla dowolnych $g, h \in G$ spełnia warunki:

• $\|g\| = 0 \Leftrightarrow g = 0_G,$
• $\|g\| = \|-g\|,$
• $\|g + h\| \leqslant \|g\| + \|h\|$

nazywa się normą grupy abelowej $G$. Parę $(G, \|\cdot\|)$ nazywa się unormowaną grupą abelową.

Bibliografia

• Fuchs, László (1970) Infinite abelian groups, Vol. I. Pure and Applied Mathematics, Vol. 36. New York-London: Academic Press. xi+290 pp.
• Fuchs, László (1973) Infinite abelian groups, Vol. II. Pure and Applied Mathematics. Vol. 36-II. New York-London: Academic Press. ix+363 pp.
• Hillar, Christopher oraz Rhea, Darren Automorphisms of Finite Abelian Groups (Automorfizmy skończonych grup abelowych).
• Szmielew, Wanda (1955) "Elementary properties of abelian groups" (Podstawowe własności grup abelowych), Fundamenta Mathematica 41: 203-71.

Zobacz też

• abelianizacja,
• teoria ciał klas,
• komutant,
• elementarna grupa przemienna,
• skończenie generowana grupa przemienna,
• grupa abelowa wolna,
• dualność Pontriagina,
• beztorsyjne grupy abelowe rangi 1.