Hesjan obrzeżony

Hesjan obrzeżony – jest macierzą kwadratową złożoną z pochodnych cząstkowych, która używana jest do rozwiązywania problemu ekstremów warunkowych funkcji wielu zmiennych. Pod względem technicznym jest to macierz Hessego poszerzona o dodatkowy wiersz i dodatkową kolumnę.

Przypadek ogólny

Mamy daną funkcję :$f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$

W celu znalezienia lokalnych ekstremów warunkowych możemy skorzystać z funkcji Lagrange'a:

Warunek przekształcamy do postaci

$g(x_1,x_2,\ldots ,x_n)=0\,$

Następnie tworzymy funkcję

$L(x_1,x_2,\ldots ,x_n, \lambda)=f(x_1,x_2,\ldots,x_n) + \lambda\cdot g(x_1,x_2,\ldots, x_n)\,$

Wtedy hesjan obrzeżony przyjmuje postać:

$\begin{bmatrix} 0&\frac{\partial g}{\partial x_1}&\frac{\partial g}{\partial x_2}&\cdots&\frac{\partial g}{\partial x_n}\\[1ex] \frac{\partial g}{\partial x_1}&\frac{\partial^2 L}{\partial x_1^2}&\frac{\partial^2 L}{\partial x_1\partial x_2}&\cdots&\frac{\partial^2 L}{\partial x_1\partial x_n}\\[1ex] \frac{\partial g}{\partial x_2}&\frac{\partial^2 L}{\partial x_2\partial x_1}&\frac{\partial^2 L}{\partial x_2^2}&\cdots&\frac{\partial^2 L}{\partial x_2\partial x_n}\\[1ex] \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\[1ex] \frac{\partial g}{\partial x_n}&\frac{\partial^2 L}{\partial x_n\partial x_1}&\frac{\partial^2 L}{\partial x_n\partial x_2}&\cdots&\frac{\partial^2 L}{\partial x_n^2}\\[1ex] \end{bmatrix}$

Definiujemy

$H_k = \begin{vmatrix} 0&\frac{\partial g}{\partial x_1}&\frac{\partial g}{\partial x_2}&\cdots&\frac{\partial g}{\partial x_k}\\[1ex] \frac{\partial g}{\partial x_1}&\frac{\partial^2 L}{\partial x_1^2}&\frac{\partial^2 L}{\partial x_1\partial x_2}&\cdots&\frac{\partial^2 L}{\partial x_1\partial x_k}\\[1ex] \frac{\partial g}{\partial x_2}&\frac{\partial^2 L}{\partial x_2\partial x_1}&\frac{\partial^2 L}{\partial x_2^2}&\cdots&\frac{\partial^2 L}{\partial x_2\partial x_k}\\[1ex] \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\[1ex] \frac{\partial g}{\partial x_k}&\frac{\partial^2 L}{\partial x_k\partial x_1}&\frac{\partial^2 L}{\partial x_k\partial x_2}&\cdots&\frac{\partial^2 L}{\partial x_k^2}\\[1ex] \end{vmatrix}$ dla $k=2,3, \ldots, n$

(Uwaga: $h_k$ jest wyznacznikiem podmacierzy o rozmiarach $(k+1) \times (k+1)$ )

Wtedy, jeśli w danym punkcie $x_0 = (x_1, x_2, \ldots, x_n)$ jest spełniony warunek konieczny istnienia ekstremum warunkowego ($\forall_{i=1,2,...,n} \frac{\partial L}{\partial x_i} = 0 \wedge \frac{\partial L}{\partial \lambda}=0$) prawdziwe są twierdzenia:

Jeśli $\forall_{k=2,3,\ldots ,n} \quad H_k(x_0; \lambda) < 0$ to funkcja przyjmuje minimum warunkowe w punkcie $x_0$.

Jeśli $\forall_{k=2,3\ldots ,n} \quad (-1)^k H_k(x_0; \lambda) > 0$ to funkcja przyjmuje maksimum warunkowe w punkcie $x_0$.

Funkcja dwóch zmiennych

W przypadku funkcji dwóch zmiennych f(x,y) wystarczy obliczyć wartość jednego wyznacznika:

$H = \begin{vmatrix} 0&\frac{\partial g}{\partial x}&\frac{\partial g}{\partial y}\\[1ex] \frac{\partial g}{\partial x}&\frac{\partial^2 L}{\partial x^2}&\frac{\partial^2 L}{\partial x\partial y}\\[1ex] \frac{\partial g}{\partial y}&\frac{\partial^2 L}{\partial y\partial x}&\frac{\partial^2 L}{\partial y^2}\\[1ex] \end{vmatrix}$

• Funkcja $f(x,y)$ przyjmuje lokalne maksimum warunkowe w punkcie $(x_0, y_0)$, gdy $H(x_0, y_0; \lambda) > 0$.
• Funkcja $f(x,y)$ przyjmuje lokalne minimum warunkowe w punkcie $(x_0, y_0)$, gdy $H(x_0, y_0; \lambda) < 0$.
• Sytuacja nie jest rozstrzygnięta, gdy $H(x_0, y_0; \lambda) = 0$. Należy wtedy badać istnienie ekstremum innymi metodami.

Bibliografia

• Jakub Jeznach: Notatki w Internecie: Analiza Matematyczna - Akademia Górniczo-Hutnicza. [dostęp 2011-05-23].