Hiperbola (matematyka)

Hiperbola − krzywa stożkowa będąca zbiorem takich punktów, że wartość bezwzględna różnicy odległości tych punktów od dwóch punktów, nazywanych ogniskami hiperboli, jest stała.

Jeżeli ogniska hiperboli mają współrzędne $(-c,0)$ i $(c,0),$ to można ją opisać równaniem:

$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1,$

gdzie $a$ jest połową odległości pomiędzy wierzchołkami hiperboli, natomiast $b$ jest połową odległości pomiędzy wierzchołkami urojonymi. Zachodzi również związek: $b^2=c^2-a^2.$

Jeżeli $a=b$ to hiperbolę nazywamy równoosiową.

Mimośrodem hiperboli nazywamy stosunek odległości pomiędzy ogniskami a wierzchołkami rzeczywistymi $e={2c \over 2a}={c \over a} > 1.$ Od mimośrodu zależy kształt hiperboli.

Kierownicami hiperboli nazywamy proste wyrażone równaniami $x=\pm{a \over e}=\pm{a^2 \over c}.$

Obierzmy na hiperboli dowolny punkt $P=(x,y),$ przez $r_1$ oznaczmy odległość pomiędzy tym punktem a lewym ogniskiem, natomiast przez $r_2$ odległość pomiędzy punktem $P$ a prawym ogniskiem. Wtedy mają miejsce następujące związki:

• dla prawej gałęzi: $r_1=a+ex,\ \ r_2=-a+ex;$
• dla lewej gałęzi: $r_1=-a-ex,\ \ r_2=a-ex.$

Niech $d_1$ będzie odległością ustalonego punktu $P$ od lewej kierownicy, a $d_2$, odpowiednio, od prawej. Wówczas:

${r_1 \over d_1}={r_2 \over d_2}=e.$

Hiperbolę o równianiu

$-{x^2 \over a^2}+{y^2 \over b^2}=1$

nazywamy hiperbolą sprzężoną (do wyjściowej hiperboli). Hiperbola i hiperbola do niej sprzężona mają wspólne asymptoty o równaniach

$y=\pm{b \over a}x.$

Odcinek, który przechodzi przez środek hiperboli, a jego końce na niej leżą nazywamy średnicą hiperboli.

Styczna w punkcie $Q=(p,q)$ hiperboli spełnia równanie

${px \over a^2}-{qy \over b^2}=1.$

Zobacz też

• radionawigacja
• twierdzenie Pascala