Homeomorfizm

Kubek i torus są homeomorficzne – można przekształcić jeden w drugi bez rozrywania i sklejania

Homeomorfizm – jedno z fundamentalnych pojęć topologii. Intuicyjnie - przekształcenie, które dowolnie ściska, rozciąga, wygina lub skręca figurę, nie robi jednak w niej dziur, nie rozrywa jej ani nie skleja jej fragmentów. Inaczej mówiąc, przekształcenie to na ogół zmienia pierwotny kształt i rozmiar figury, zawsze jednak zachowuje potocznie rozumianą ciągłość i spoistość.

Definicja

Niech $(X, \tau_X)\,$ oraz $(Y, \tau_Y)\,$ będą dwiema przestrzeniami topologicznymi. Funkcję $f\colon X \to Y$ nazywa się homeomorfizmem, gdy:

1. $f\,$ jest funkcją różnowartościową,
2. $f(X) = Y\,$, czyli $f\,$ jest funkcją "na",
3. $f\,$ jest funkcją ciągłą,
4. $f^{-1}\colon Y \to X$ jest funkcją ciągłą.

Mówi się, że przestrzenie topologiczne są homeomorficzne, jeżeli istnieje pomiędzy nimi homeomorfizm. Homeomorfizmy są więc ciągłymi bijekcjami, których funkcja odwrotna jest również ciągła. Założenie ciągłości funkcji odwrotnej jest konieczne, ponieważ funkcja odwrotna do ciągłej bijekcji może nie być ciągła.

Zastosowanie

Wprost z definicji wynika, że:

• Złożenie homeomorfizmów jest homeomorfizmem.
• Funkcja odwrotna do homeomorfizmu też jest homeomorfizmem.
• Każda funkcja tożsamościowa jest homeomorfizmem, o ile na dziedzinie i przeciwdziedzinie rozważana jest ta sama topologia.

W dowolnej rodzinie przestrzeni topologicznych relacja homeomorficzności dwóch przestrzeni topologicznych jest relacją równoważności. Klasę abstrakcji tej relacji czasami nazywa się typem topologicznym.

Przestrzenie homeomorficzne są z punktu widzenia topologii nierozróżnialne.

Topologia zajmuje się m.in. badaniem niezmienników topologicznych, czyli tych własności przestrzeni topologicznych, które są zachowywane przy homeomorfizmach przestrzeni. Wśród nich można wymienić domkniętość, otwartość, zwartość, ośrodkowość czy spójność.

Przykłady

• okrąg jest homeomorficzny z dowolną łamaną zamkniętą zwyczajną , ale nie z odcinkiem otwartym,
• koło jest homeomorficzne z dowolnym wielokątem, ale nie z kołem pozbawionym środka,
• sfera (jako dwuwymiarowa powierzchnia trójwymiarowej kuli) jest homeomorficzna z powierzchnią dowolnego wielościanu ale nie z powierzchnią torusa ani z kołem,
• dowolne dwa odcinki otwarte są homeomorficzne ze sobą, każdy z nich jest homeomorficzny z całą prostą,
• żaden odcinek otwarto-domknięty nie jest homeomorficzny z żadnym odcinkiem otwartym ani domkniętym

Zanurzenie homeomorficzne

Przekształcenie $f\colon X\to Y$ nazywane jest zanurzeniem homeomorficznym, jeśli jest złożeniem homeomorfizmu i zanurzenia, tj. jeśli istnieje taka podprzestrzeń $L$ przestrzeni $Y$ oraz taki homeomorfizm $f^\prime\colon X\to L$, że

$f=\mbox{id}_L\circ f^{\prime}$.

Jeśli istnieje zanurzenie homeomorficzne przestrzeni $X$ w $Y$, to mówi się, że $X$ jest zanurzalna w $Y$.

Sprzężenie topologiczne

Dwa homeomorfizmy $\varphi,\; \psi\colon X \to X$ nazywane są topologicznie sprzężonymi wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki homeomorfizm $\varrho\colon X \to X$, że

$\varphi \circ \varrho = \varrho \circ \psi$

Zobacz też

• hipoteza Poincarégo,
• dyfeomorfizm,
• izomorfizm,
• morfizm.