Ideał (teoria mnogości)

Ideał – w teorii porządków częściowych, teorii mnogości i pokrewnych dziedzinach matematyki pojęcie dualne do pojęcia filtru.

Intuicje

Najogólniejsza definicja ideału jest formułowana dla częściowych porządków, ale jej specjalny przypadek ideału podzbiorów danego zbioru jest najlepszym źródłem intuicji. W tym ograniczonym kontekście, ideał to rodzina zbiorów w jakimś sensie małych. Wydaje się naturalnym, że pojęcie małych zbiorów powinno spełniać pewne podstawowe własności:

• zbiór mniejszy od małego zbioru powinien być mały,
• zbiór pusty powinien być mały, ale cała przestrzeń (uniwersum) nie powinna być mała,
• suma dwóch małych zbiorów powinna być mała.

Rodzina zbiorów spełniająca powyższe wymagania (jako rodzina zbiorów małych) jest właśnie ideałem zbiorów, patrz poniżej.

Definicje

Ideały w porządkach

Niech $(P,\leqslant)$ będzie porządkiem częściowym. Powiemy, że zbiór $I\subseteq P$ jest ideałem w zbiorze uporządkowanym $P$ jeśli następujące warunki są spełnione:

(i) $I\neq \varnothing$,

(ii) jeśli $p,q\in P$, $p\leqslant q$ oraz $q\in I$, to również $p\in I$,

(iii) jeśli $p,q\in I$, to można znaleźć $r\in I$ taki że $p\leqslant r$ oraz $q\leqslant r$.

Ideał $I$ jest właściwy jeśli dodatkowo

(iv) $I\neq P$.

Ideały w algebrach Boole'a

Ponieważ algebra Boole'a jest także zbiorem częściowo uporządkowanym, to definicja ideału w porządkach częściowych może być przeniesiona bez zmian na algebry Boole'a. Możemy jednak wykorzystać fakt, że porządek boole'owski jest związany z operacjami algebry i możemy sformułować definicję ideału trochę inaczej.

Niech $({\mathbb B},+,\cdot,\sim,{\bold 0},{\bold 1})$ będzie algebrą Boole'a. Powiemy, że zbiór $I$ jest ideałem w algebrze Boole'a ${\mathbb B}$ jeśli następujące warunki są spełnione:

(i) ${\bold 0}\in I$,

(ii) jeśli $a,b\in {\mathbb B}$, $a\leqslant b$ (tzn $a\cdot b=a$) oraz $b\in I$, to również $a\in I$,

(iii) jeśli $a,b\in I$, to $a+b\in I$.

Ideał $I$ jest właściwy jeśli dodatkowo

(iv) ${\bold 1}\notin I$.

Powyższa definicja jest równoważna definicji sformułowanej w kontekście częściowych porządków, zastosowanej do relacji zawierania zbiorów.

Ideały podzbiorów danego zbioru

Szczególnym przypadkiem algebry Boole'a jest rodzina wszystkich podzbiorów ustalonego zbioru $S$ (z operacjami sumy, przekroju i dopełnienia zbiorów). Zatem sformułowana powyżej definicja ideału na algebrze Boole'a może być powtórzona bez zmian dla podzbiorów zbioru $S$. Sformułujemy tę definicję jeszcze raz dla podkreślenia znaczenia intuicji, że ideał to rodzina małych podzbiorów $S$.

Niech $S$ będzie niepustym zbiorem. Powiemy, że rodzina $I$ podzbiorów zbioru $S$ jest ideałem podzbiorów zbioru $S$ jeśli następujące warunki są spełnione:

(i) $\varnothing\in I$,

(ii) jeśli $A\subseteq B\subseteq S$ i $B\in I$, to również $A\in I$,

(iii) jeśli $A,B\in I$, to $A\cup B\in I$.

Ideał $I$ jest właściwy jeśli dodatkowo

(iv) $S\notin I$.

Ideały maksymalne

Ideał właściwy $I$ w porządku częściowym $(P,\leqslant)$ jest ideałem maksymalnym jeśli jedynym ideałem właściwym zawierającym $I$ jest samo $I$.

Przykłady

Ideały w algebrach Boole'a

• Niech ${\mathcal K}_{\mathcal B}$ będzie rodziną tych borelowskich podzbiorów prostej rzeczywistej które są pierwszej kategorii. Wówczas ${\mathcal K}_{\mathcal B}$ jest ideałem w algebrze borelowskich podzbiorów prostej.
• Niech ${\mathcal L}_{\mathcal B}$ będzie rodziną tych borelowskich podzbiorów prostej, które są miary zero Lebesgue'a. Wówczas ${\mathcal L}_{\mathcal B}$ jest ideałem w algebrze borelowskich podzbiorów prostej.
• Przypuśćmy, że $F$ jest filtem w algebrze Boole'a ${\mathbb B}$. Niech $F^c=\{\sim a:a\in F\}$. Wówczas $F^c$ jest ideałem w ${\mathbb B}$. Warto zauważyć, że $F^c$ jest ideałem maksymalnym wtedy i tylko wtedy gdy $F$ jest ulltrafiltrem.

Ideały podzbiorów danego zbioru

• Niech $S$ będzie zbiorem nieskończonym. Rodzina $[S]^{<\omega}$ wszystkich skończonych podzbiorów $S$ jest ideałem podzbiorów $S$. Jest on często nazywany ideałem Frécheta.
• Niech $A\subsetneq X$. Wówczas rodzina $I_A$ wszystkich podzbiorów zbioru $A$ jest ideałem podzbiorów $X$. Ideały tej postaci są nazywane ideałami głównymi i zwykle nie są one obiektem rozważań (tzn typowym założeniem o rozważanych ideałach jest że są one niegłówne).
• Niech ${\mathcal K}$ będzie rodziną wszystkich podzbiorów prostej rzeczywistej które są pierwszej kategorii, a ${\mathcal L}$ będzie rodziną tych wszystkich podzbiorów prostej które mają miarę Lebesgue'a zero. Wówczas zarówno ${\mathcal K}$ jak i ${\mathcal L}$ są ideałami podzbiorów prostej.
• Przypuśćmy, że $(X,\tau)$ jest przestrzenią topologiczną. Wówczas rodzina wszystkich nigdziegęstych podzbiorów przestrzeni $X$ tworzy właściwy ideał podzbiorów $X$.
• Niech $\kappa$ będzie nieprzeliczalną regularną liczbą kardynalną oraz niech ${\mathcal NS}_\kappa$ będzie rodziną wszystkich tych podzbiorów $\kappa$, których dopełnienie zawiera domknięty nieograniczony podzbiór $\kappa$. Rodzina ${\mathcal NS}_\kappa$ jest ideałem podzbiorów $\kappa$ - zbiory z tego ideału są nazywane niestacjonarnymi podzbiorami $\kappa$.

Dodatkowe pojęcia

• Niech $\kappa$ będzie nieskończoną liczbą kardynalną. Mówimy, że ideał $I$ podzbiorów zbioru $S$ jest $\kappa$-zupełny, jeśli suma mniej niż $\kappa$ zbiorów z ideału $I$ należy do $I$.
• Ideały $\aleph_1$-zupełne na $S$ są nazywane $\sigma$-ideałami podzbiorów $S$. Tak więc $\sigma$-ideał podzbiorów $S$, to taki ideał $I$ podzbiorów $S$, który spełnia następujący warunek:

(iii)^σ jeśli $A_0,A_1,A_2,\ldots\in I$, to $\bigcup\limits_{n=0}^\infty A_n\in I$.

• Czasami dla ideałów podzbiorów jakiegoś zbioru bada się następujące funkcje kardynalne, nazywane też współczynnikami kardynalnymi ideału. Niech $I$ będzie takim ideałem podzbiorów zbioru $S$, który zawiera wszystkie zbiory jednopunktowe. Definiuje się następujące liczby kardynalne:

${\rm add}(I)=\min\{|{\mathcal A}|: {\mathcal A}\subseteq I \wedge \bigcup{\mathcal A}\notin I\big\},$

${\rm cov}(I)=\min\{|{\mathcal A}|:{\mathcal A}\subseteq I \wedge\bigcup{\mathcal A}=S\big\},$

${\rm non}(I)=\min\{|A|:A\subseteq S\ \wedge\ A\notin I\big\},$

${\rm cof}(I)=\min\{|{\mathcal B}|:{\mathcal B}\subseteq I \wedge (\forall A\in I)(\exists B\in {\mathcal B})(A\subseteq B)\big\}.$

Własności i i zastosowania

• Każdy właściwy ideał w algebrze Boole'a jest zawarty w pewnym ideale maksymalnym. (To twierdzenie, udowodnione przez Tarskiego, wymaga pewnej formy AC.)
• Jeśli $I$ jest ideałem podzbiorów $S$ który zawiera wszystkie zbiory jednopunktowe, to

${\rm add}(I)\leqslant {\rm cov}(I)\leqslant {\rm cof}(I)$ i ${\rm add}(I)\leqslant {\rm non}(I)\leqslant {\rm cof}(I)$.

• Wspólczynniki kardynalne ideałów ${\mathcal K}$ i ${\mathcal L}$ były intensywnie studiowane także i w Polsce w latach 80. XX wieku. Są one głównymi elementami tzw. diagramu Cichonia.

Zobacz też

• diagram Cichonia,
• filtr.