Ideał maksymalny

Ideał maksymalny – w teorii pierścieni ideał, który jest maksymalny (względem zawierania zbiorów) wśród wszystkich ideałów właściwych danego pierścienia; innymi słowy jest to taki ideał właściwy, który nie zawiera się w żadnym innym ideale danego pierścienia.

Istotność ideałów maksymalnych wynika zasadniczo z faktu, że pierścienie ilorazowe ideałów maksymalnych są pierścieniami prostymi, co w przypadku pierścieni przemiennych z jedynką oznacza, że są one także ciałami. Dla pierścieni nieprzemiennych definiuje się ideały maksymalne lewostronny i prawostronny jako maksymalne wśród częściowo uporządkowanego zbioru ideałów odpowiednio lewostronnych bądź prawostronnych. W tym przypadku iloraz jest tylko modułem prostym nad danym pierścieniem. Jeżeli pierścień ma dokładnie jeden prawostronny ideał maksymalny, to nazywa się go pierścieniem lokalnym; wówczas ideał ten jest równocześnie dokładnie jednym lewostronnym ideałem maksymalnym tego pierścienia, co oznacza, że jest on jego (obustronnym) ideałem maksymalnym – w istocie jest to radykał Jacobsona danego pierścienia.

Własności

W pierścieniach przemiennych z jedynką $\scriptstyle R$ zachodzą następujące twierdzenia:

• Ideał $\scriptstyle I$ jest maksymalny wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień ilorazowy $\scriptstyle R/I$ jest ciałem nazywanym ciałem reszt.
• Każdy ideał maksymalny jest ideałem pierwszym.
• Twierdzenie Krulla: każdy ideał właściwy jest zawarty w pewnym ideale maksymalnym.

Przykłady

• W pierścieniu $\scriptstyle \mathbb Z$ ideałami maksymalnymi są zbiory wszystkich liczb podzielnych przez daną liczbę pierwszą $p$ (pierścienie ilorazowe są wówczas izomorficzne z ciałami $\scriptstyle \mathbb Z_p$)
• W pierścieniu wielomianów $\scriptstyle \mathbb Z[X]$ ideałami maksymalnymi są na przykład: zbiór wielomianów dla których suma współczynników jest parzysta, zbiór wielomianów dla których różnica między sumą współczynników o indeksach parzystych i nieparzystych jest parzysta (w obu przypadkach pierścienie ilorazowe są izomorficzne z $\scriptstyle \mathbb Z_2$)
• W pierścieniu wielomianów $\scriptstyle \mathbb R[X]$ ideałem maksymalnym jest na przykład zbiór wielomianów podzielnych przez $(x^2 + 1);$ pierścień ilorazowy jest izomorficzny z ciałem liczb zespolonych $\scriptstyle \mathbb C.$
• W pierścieniu funkcji ciągłych z przestrzeni metrycznej zbiór funkcji znikających w danym punkcie (mających miejsce zerowe w ustalonym punkcie) jest ideałem maksymalnym.