Idempotentność

Idempotentność (łac. idempotent-: idem, „taki sam, równy” i potens, „mieć moc, siłę”, od potis, pote, „móc”; spokr. z gr. πόσις posis, „małżonek”, sanskr. पित pati, „mistrz, małżonek”) – w matematyce i informatyce własność pewnych operacji, która pozwala na ich wielokrotne stosowanie bez zmiany wyniku.

Pojęcie idempotentności pojawia się wielokrotnie w algebrze (w szczególności w teorii rzutów i operatorów domknięcia) oraz programowaniu funkcyjnym (w którym ma ono związek z przejrzystością referencyjną).

Termin wprowadził Benjamin Peirce w kontekście elementów algebry, które są niezmiennicze ze względu na potęgowanie.

Istnieje kilka znaczeń idempotentności w zależności od pojęcia, do którego się odnoszą:

• Działanie jednoargumentowe (lub funkcja) jest idempotentne, jeżeli zastosowana dwukrotnie daje ten sam wynik, co zastosowana jednokrotnie. Przykładowo funkcja wartości bezwzględnej jest idempotentna jako funkcja zbioru liczb rzeczywistych w siebie: $\Big||x|\Big| = |x|.$
• Działanie dwuargumentowe jest idempotentne, gdy zastosowane do dwóch równych wartości daje ją w wyniku. Przykładem może być działanie brania maksimum dwóch wartości, które jest idempotentne: $\max(x, x) = x.$
• Dla danego działania dwuargumentowego elementem idempotentnym, lub krótko idempotentem, względem tego działania to wartość, dla która dana na obu argumentach zostaje zwrócona jako wynik. Przykładem jest liczba $1$ będąca idempotentem mnożenia: $1 = 1 \cdot 1.$

Definicje

Działania jednoargumentowe

Działanie jednoargumentowe $f,$ tzn. funkcję danego zbioru $X$ w siebie, nazywa się idempotentną, jeśli dla każdego $x \in X$ zachodzi

$f\Big(f(x)\Big) = f(x).$

W szczególności funkcja tożsamościowa $\operatorname{id}_X$ określona wzorem $\operatorname{id}_X(x) = x$ jest idempotentna, podobnie jak funkcja stała $K_c,$ gdzie $c \in X,$ dana wzorem $K_c(x) = c.$

Ważną klasą funkcji idempotentych są rzuty w przestrzeni liniowej. Przykładowo rzutem jest funkcja $\pi_{xy}$ dana wzorem $\pi_{xy}(x, y, z) = (x, y, 0),$ która rzutuje dowolny punkt przestrzeni trójwymiarowej na punkt płaszczyzny $XY,$ gdyż trzecia współrzędna $z$ jest równa $0.$

Działanie jednoargumentowe $f\colon X \to X$ jest idempotentne wtedy i tylko wtedy, gdy odwzorowuje wszystkie elementy zbioru $X$ na punkty stałe. Dla zbioru $n$-elementowego istnieje

$\sum_{k=0}^n {n \choose k} k^{n-k}$

funkcji idempotentnych, gdzie

${n \choose k} k^{n-k}$

jest liczbą funkcji idempotentnych o dokładnie $k$ punktach stałych. Początkowymi wyrazami ciągu liczby funkcji idempotentnych danego przez powyższą sumę są: 1, 1, 3, 10, 41, 196, 1057, 6322, 41393, …

Działania dwuarugmentowe

Dwuargumentowe działanie $\star$ na zbiorze $X$ nazywa się idempotentnym, jeżeli dla wszystkich $x \in X$ zachodzi

$x \star x = x.$

Przykładami działań idempotentnych mogą być działania sumy zbiorów i iloczynu zbiorów, a także działania koniunkcji logicznej i dysjunkcji logicznej oraz, w ogólności, działania kresu dolnego i górnego w kratach.

Element $x \in X$ nazywa się idempotentnym lub idempotentem, jeżeli zachodzi dla niego równość

$x \star x = x.$

W szczególności idempotentem działania $\star$ jest jego element neutralny.

Powiązania

Powyższe trzy pojęcia można przedstawić następująco:

• Twierdzenie, iż działanie dwuargumentowe $\star$ na zbiorze $X$ jest idempotentne jest równoważne żądaniu, by każdy element zbioru $S$ był idempotenty względem $\star.$
• Własność definiująca idempotentności jednoargumentowej można zapisać za pomocą operacji złożenia funkcji $\circ$ w następujący sposób: $f \circ f = f.$ W ten sposób twierdzenie, że $f$ jest jednoargumentowym działaniem idempotentnym na $S$ jest równoważne stwierdzeniu, że $f$ jest elementem idempotentnym działania $\circ$ na zbiorze funkcji $X \to X.$

Przykłady

Jak wspomniano wyżej, przekształcenia tożsamościowe i stałe są idempotentne. Idempotentne są również funkcje wartości bezwzględnej zmiennej rzeczywistej i zespolonej oraz funkcja podłogi i sufitu zmiennej rzeczywistej.

Funkcja przypisująca każdemu podzbiorowi przestrzeni topologicznej $X$ jej domknięcie jest idempotentna na zbiorze potęgowym zbioru $X.$ Jest to przykład operatora domknięcia; własność idempotentności cechuje wszystkie operatory domknięcia. Idempotentne są również działania wnętrza oraz k-rozszerzenia.

Języki formalne

Operatory gwiazdka i plus Kleene'ego wykorzystywane w językach formalnych do wyrażania powtórzeń są idempotente.

Idempotentne elementy pierścienia

Element idempotentny pierścienia to, z definicji, element idempotentny względem mnożenia w pierścieniu. Innymi słowy element $r$ jest idempotentny, gdy $r^2 = r.$ W zbiorze idempotentów pierścienia można zdać porządek częściowy w następujący sposób: jeśli $a$ i $b$ są idempotentami, to

$a \leqslant b \Leftrightarrow ab = ba = a.$

W porządku tym $0$ jest najmniejszym, a $1$ – największym idempotentem.

Dwa idempotenty $a, b$ nazywa się ortogonalnymi i oznacza $a \perp b,$ jeżeli $ab = ba = 0.$ Wówczas $a + b$ również jest idempotentny i zachodzi $a \leqslant a + b$ oraz $b \leqslant a + b.$

Jeśli $a$ jest idempotentem pierścienia $R,$ to

• jest nim także $b = 1 - a;$ wówczas $a \perp b;$
• pierścień $aRa$ również jest pierścieniem z jedynką $a;$
• nazywa się go centralnym, o ile tylko dla wszystkich $x \in R$ zachodzi $ax = xa;$ wówczas $Ra$ jest pierścieniem z jedynką $a.$

Idempotenty centralne są blisko związane z rozkładami $R$ na sumy proste pierścieni. Jeśli

$R = R_1 \oplus \dots \oplus R_n,$

to jedynki pierścieni $R_i$ są parami ortogonalnymi idempotentami centralnymi w $R,$ których suma jest równa $1.$ Odwrotnie, dla danych parami ortogonalnych idempotentów centralnych $a_1, \dots, a_n \in R$ sumujących się do $1$ zachodzi

$R = Ra_1 \oplus \dots \oplus Ra_n.$

W szczególności idempotent centralny $a \in R$ daje więc rozkład $R$ na sumę prostą $Ra \oplus R(1 - a).$

Dowolny idempotent różny od $0$ i $1$ jest dzielnikiem zera, gdyż $a(1 - a) = 0.$ W związku z tym dziedziny całkowitości i pierścienie z dzieleniem nie mają takich idempotentów. Pierścienie lokalne również nie mają tego rodzaju idempotentów, ale z innego powodu: jedynym idempotentem zawartym w radykale Jacobsona pierścienia jest $0.$ Istnieje katenoida idempotentów w pierścieniu kokwaternionów.

Pierścienie, których wszystkie elementy są idempotentne nazywa się pierścieniami Boole'a. Można pokazać, że w każdym takim pierścieniu mnożenie jest przemienne, a każdy element swoim elementem przeciwnym.

Związek z inwolucjami

Jeśli $a$ jest idempotentem, to $1 - 2a$ jest inwolucją.

Jeśli $b$ jest idempotentem, to $\tfrac{1 - b}{2}$ jest idempotentem i są one swoimi odwrotnościami: stąd jeśli $2$ jest odwracalna w danym pierścieniu, to idempotentny i inwolucje są pojęciami równoważnymi.

Więcej, jeżeli $b$ jest inwolucją, to $\tfrac{1 - b}{2}$ i $\tfrac{1 + b}{2}$ są idempotentami ortogonalnymi odpowiadającymi $a$ i $1-a.$

Informatyka

W informatyce idempotentność jest własnością operacji pozwalającą na jej wielokrotne powtarzanie bez zmiany wyniku lub powodowania błędu. Taką cechę ma np. operacja czytania.

Przykłady

Programista aplikacji internetowych powinien zadbać o idempotentność wykonywanych przez serwer operacji, nie dopuszczając np. do kolejnego zakupu identycznego wyrobu w sklepie internetowym po odświeżeniu strony. Jedną z metod jest wprowadzenie tokenu synchronizującego, który jest inkrementowany przy każdym zapytaniu od klienta i np. jako ciasteczko przesyłany wraz z odpowiedzią do klienta. Jeśli token otrzymany od klienta jest różny od tokena zapamiętanego na serwerze, oznacza to że nastąpiło rozsynchronizowanie, np. klient odświeżył stronę.

Standardowo uważa się metody GET i HEAD protokołu HTTP za idempotentne, więc przeglądarki internetowe nie wyświetlają żadnego ostrzeżenia w przypadku odświeżania strony za pomocą metody GET. Stąd poleca się implementację operacji zmieniających stan sesji klienta za pomocą metody POST.

Zobacz też

• macierz idempotentna
• element nilpotentny

Bibliografia

• Idempotent - Wolfram Mathworld (ang.). [dostęp 9 lutego 2009].
• Bryan Basham, Kathy Sierra, Bert Bates: Head First Servlets & JSP. Helion, 2005. ISBN 83-7361-810-4. 
• Deepak Alur, John Crupi, Dan Malks: Core J2EE Wzorce projektowe. Wyd. 2. Helion, 2004. ISBN 83-7361-344-7. 
• Peirce, B.. Linear Associative Algebra. 1870.
• Milies, César Polcino; Sehgal, Sudarshan K. An introduction to group rings. Algebras and applications, Tom 1. Springer, 2002. ISBN 9781402002380
• Lang, Serge (1993), Algebra (wyd. III), Reading, Mass.: Addison-Wesley Pub. Co., ISBN 978-0-201-55540-0, s. 443
• Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna Gubareni, Vladimir V. Kirichenko. Algebras, rings and modules. Tom 1. 2004. Springer, 2004. ISBN 1402026900