Igła Buffona

W statystyce matematycznej igła Buffona jest jednym z najpopularniejszych problemów prawdopodobieństwa geometrycznego. Problem został sformułowany w 1733 przez Georges'a-Louisa Leclerca, hrabiego Buffon, a w 1777 podał on jego rozwiązanie. Opisany w problemie eksperyment jest statystyczną symulacją pozwalającą oszacować liczbę π. Otrzymana metoda estymacji liczby π należy do klasy metod Monte Carlo.

Opis problemu i rozwiązanie

Mamy planszę z zaznaczonymi poziomymi liniami odległymi od siebie o $t\,$. Upuszczamy na nią igłę o długości $l\,$, przy czym $l \leqslant t\,$. Eksperyment powtarzamy $n\,$ razy, i zliczamy ile razy igła przecięła którąś z linii siatki, otrzymując wartość $R\,$. Jak oszacować stosunek $\frac{R}{n}$, czyli prawdopodobieństwo, że igła przetnie którąś z linii?

Niech $x\,$ będzie odległością środka igły od najbliższej linii, a $\theta\,$ ostrym kątem między igłą a linią. Obie zmienne losowe są niezależne i podlegają rozkładowi równomiernemu:

$x \sim U \left[ 0,\frac{t}{2} \right],\ \ \theta \sim U \left[ 0,\frac{\pi}{2} \right]$

Igła przetnie linię jeśli

$x \leqslant \frac{l}{2}\sin\theta$

Zatem prawdopodobieństwo tego zdarzenia wynosi:

$\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\,d\theta\int\limits_0^{\frac{l}{2}\cdot\sin\theta} \frac{2}{\pi}\cdot\frac{2}{t}\,dx = \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\left[\frac{4}{\pi\cdot t}\cdot x\right]_{0}^{\frac{l}{2}\cdot sin{\theta}}\,d\theta= \int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{4}{\pi\cdot t}\cdot \frac{l}{2}\cdot sin\,\theta\, d\theta= \frac{2\cdot l}{\pi\cdot t}\cdot \left[-cos\,\theta\right]_0^{\frac{\pi}{2}}= \frac{2\cdot l}{\pi\cdot t}\cdot\left(-cos\,\frac{\pi}{2}+cos\,0\right) =\frac{2\cdot l}{t\pi}.$

Ponieważ eksperyment pozwala oszacować prawdpopodobieństwo przecięcia linii i igły przez $\frac{R}{n}$, otrzymujemy równość:

$\frac{R}{n} = \frac{2\cdot l}{t\cdot\pi}$,

która po przekształceniu daje:

$\pi = \frac{2\cdot l\cdot n}{t\cdot R}$

Komentarze

Pierwotna wersja problemu dotyczyła oszacowania prawdopodobieństwa w grze Franc-Carreau polegającej na rzucaniu okrągłą monetą na podłogę podzieloną na kwadraty. Przegrana następowała jeśli moneta upadła na linię.

Łatwo zauważyć, że znając liczbę π opisany eksperyment może służyć jako estymacja innych zmiennych, np. długości igły.

Linki zewnętrzne

• Igła Buffona (ang.) w encyklopedii MathWorld