Iloczyn nieskończony

Iloczyn nieskończony - pojęcie analogiczne szeregowi; iloczyn nieskończenie wielu liczb (rzeczywistych lub zespolonych).

Ustalenia wstępne

Jeżeli $p_1, p_2, \ldots, p_n, \ldots$ jest ciągiem liczb, to liczby $P_1=p_1, P_2=p_1p_2, \ldots, P_n=p_1p_2\cdot\ldots\cdot p_n$ nazywamy iloczynami częściowymi tego ciągu. Symbol

$\prod_{n=1}^\infty p_n=p_1p_2\cdot\ldots\cdot p_n\ldots$

nazywamy iloczynem nieskończonym ciągu $p_n$, natomiast granicę (oznaczaną również tym samym symbolem) ciągu iloczynów częściowych

$\lim_{n\to\infty}P_n=\prod_{n=1}^\infty p_n$

(skończoną bądź nie) nazywamy wartością tego iloczynu.

Jeżeli iloczyn nieskończony ma granicę skończoną i różną od zera, to nazywamy go zbieżnym - w przeciwnym wypadku rozbieżnym. Jak łatwo zauważyć, wystarczy by jeden z czynników iloczynu był zerowy, aby wartość iloczynu była zerem, tj. iloczyn nieskończony był rozbieżny.

Związek z szeregami

Podobnie jak w przypadku szeregów, odrzucenie skończonej liczby wyrazów w ciągu $p_n$ nie wpływa na zbieżność iloczynu nieskończonego tego ciągu (o ile wśród odrzucanych wyrazów nie ma liczby 0). Można podać także analogiczny warunek konieczny zbieżności: Jeżeli iloczyn nieskończony ciągu $p_n$ jest zbieżny, to

$\lim_{n\to\infty}p_n=1$.

Zbieżność szeregu a zbieżność iloczynu nieskończonego

Iloczyn nieskończony ciągu $p_n$ jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg

$\sum_{n=1}^{\infty} \ln p_n$.

Jeżeli warunek ten jest spełniony i $L$ jest sumą szeregu, to wartość iloczynu nieskończonego wynosi $e^L$.

Można podać też inne kryteria zbieżności:

• Jeżeli dla dostatecznie dużych $n$ wyrazy ciągu liczbowego $a_n$ są stałego znaku, to iloczyn nieskończony

$\prod_{n=1}^\infty (1+a_n)$ jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg $\sum_{n=1}^\infty a_n$.

• Jeżeli zbieżne są szeregi: $\sum_{n=1}^\infty a_n$ i $\sum_{n=1}^\infty a^2_n$, to zbieżny jest iloczyn $\prod_{n=1}^\infty (1+a_n)$.

Iloczyn nazywamy bezwzględnie zbieżnym, jeśli zbieżny jest iloczyn $\prod_{n=1}^\infty (1+|a_n|)$.

Warunek Cauchy'ego dla iloczynów: Iloczyn $\prod_{n=1}^\infty (1+a_n)$ jest wtedy i tylko wtedy, gdy $\forall \epsilon >0 \exists n_0 \forall n>n_0 \forall k\in \mathbb{N} |\frac{P_{n+k}}{P_{n}}-1|<\epsilon$.

Wniosek: Iloczyn $\prod_{n=1}^\infty (1+a_n)$ jest bezwzględnie zbieżny $\Leftrightarrow$ Szereg $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ jest bezwzględnie zbieżny.

Rozwinięcia funkcji w iloczyny nieskończone

$\sin z = z \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 - \frac{z^2}{\pi^2 n^2}\right)$ - szczególny przypadek - iloczyn Wallisa:

$\frac{\pi}{2} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \prod_{n=1}^{\infty} \frac{ 4 n^2 }{ 4 n^2 - 1 }$

$\cos z = \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 - \frac{4z^2}{\pi^2 (2n-1)^2}\right)$

$\sinh z = z \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 + \frac{z^2}{\pi^2 n^2}\right)$

$\cosh z = \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 - \frac{4z^2}{\pi^2 (2n-1)^2}\right)$

$\zeta(z) = \prod_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(1 - p_n^{-z})}$ - Funkcja ζ Riemanna, $p_n$ oznacza ciąg liczb pierwszych

$\frac{2}{\pi} = \frac{ \sqrt{2} }{ 2 } \cdot \frac{ \sqrt{2 + \sqrt{2}} }{ 2 } \cdot \frac{ \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}} }{ 2 } \cdots$ - iloczyn Vièta

Bibliografia

1. Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy, t.2. Warszawa: PWN, 1966.