Implikacja materialna

Implikacja materialna — zdanie logiczne powstałe przez połączenie dwóch zdań $P$ (poprzednik implikacji) i $Q$ (następnik implikacji) spójnikiem implikacji $P \Rightarrow Q, P \rightarrow Q$ lub $P \subset Q$.

Implikacja materialna jest często mylona z wynikaniem (implikacją logiczną).

Podczas wartościowania implikacja materialna przyjmuje wartości w zależności od wartości logicznych łączonych zdań. Tablica prawdy (matryca logiczna) implikacji, gdzie 1 to prawda, 0 to fałsz:

$P$	$Q$	$P \Rightarrow Q$
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Implikacja spełnia poniższą równoważność:

$(P \Rightarrow Q) \iff (\neg Q \Rightarrow \neg P)$

która nazywana jest zasadą kontrapozycji. Zasada ta jest podstawą dowodu nie wprost.

Definicja klasyczna

Znak "<" przyjęto nazywać znakiem implikacji, od łac. implico – wplatam, dla zaznaczenia, ze następnik jest niejako wpleciony, wwikłany w poprzednik, skoro w prawdziwej implikacji poprzednik nie może być prawdziwy bez prawdziwości następnika. Samo zaś zdanie postaci "p < q", czyli zdanie warunkowe, nazywa się częstokroć wprost implikacją. (T. Kotarbiński, Elementy teorii poznania, logiki formalnej i metodologii nauk, Warszawa, PWN, 1986 (1929), str. 140)

Przykłady

Intuicja: implikację można traktować jako obietnicę: "obiecuję, że jeśli dostanę dwójkę z matematyki to zacznę odrabiać zadania". Jeśli rzeczywiście tak się stanie (poprzednik implikacji będzie prawdziwy), to muszę odrabiać zadania (1⇒1), bo inaczej obietnica zostanie złamana (1⇒0 fałsz!). W każdym innym przypadku implikacja będzie prawdziwa, bo obietnica zostanie spełniona (dostałam piątkę, mogę albo odrabiać zadania albo sobie odpuścić).

• Zdanie "Z tego, że Rzym jest stolicą Włoch wynika, że Warszawa jest stolicą Francji" jest fałszywe, zarówno w interpretacji intuicjonistycznej (bo jedno z drugiego w żaden sposób nie wynika) jak i klasycznej (bo poprzednik jest prawdziwy, zaś następnik fałszywy).
• Zdanie "Z tego, że księżyc jest z sera wynika, że Warszawa jest stolicą Francji" jest w interpretacji intuicjonistycznej fałszywe (bo jedno z drugim nie ma żadnego związku), natomiast w interpretacji klasycznej prawdziwe, bo poprzednik jest fałszywy, więc wynika z niego wszystko.
• Zdanie "Jeśli n jest podzielne przez 4, to jest podzielne przez 2" jest prawdziwe w obu interpretacjach dla dowolnego n.

Zobacz też

• rachunek zdań
• prawa rachunku zdań
• alternatywa
• alternatywa wykluczająca
• dysjunkcja
• koniunkcja
• negacja
• równoważność
• NAND
• NOR
• algebra Boole'a
• wynikanie