Indukcja pozaskończona

W teorii mnogości, indukcja pozaskończona to rozszerzenie indukcji matematycznej na zbiory dobrze uporządkowane, czy też nawet na klasę liczb porządkowych.

Wstęp

Zarówno definicje indukcyjne jak i twierdzenie o indukcji matematycznej można porównać do rozumowań krok po kroku, gdzie kroki są ponumerowane liczbami naturalnymi. Np sedno dowodów indukcyjnych leży zawsze w podaniu uzasadnienia, że dla każdego $n\in {\mathbb N}$,

jeśli do kroku n (wyłącznie) wszystko było dobrze, to stąd można wywnioskować, że na kroku n też wszystko jest dobrze.

Możemy jednak sobie wyobrazić, że wykonaliśmy wszystkie kroki ponumerowane liczbami naturalnymi i chcemy kontynuować nasz proces. Ponieważ jedyną własnością liczb naturalnych potrzebną do rozumowań indukcyjnych jest, że każdy niepusty podzbiór ${\mathbb N}$ ma element najmniejszy, naturalnym sposobem na kontynuację naszego procesu, jest deklaracja, że nasze kroki są numerowane przez kolejne elementy pewnego zbioru dobrze uporządkowanego. Ale przecież każdy zbiór dobrze uporządkowany jest porządkowo izomorficzny z pewną liczbą porządkową (której elementy to liczby porządkowe od niej mniejsze). Zatem możemy myśleć, że nasze kroki w procesie indukcyjnym są ponumerowane liczbami porządkowymi. Wówczas sedno rozszerzonych dowodów indukcyjnych (czyli dowodów przez indukcję pozaskończoną) leży w podaniu uzasadnienia, że dla każdej liczby porządkowej $\alpha$,

jeśli do kroku $\alpha$ (wyłącznie) wszystko było dobrze, to stąd można wywnioskować, że na kroku $\alpha$ też wszystko jest dobrze.

Twierdzenia

Niech ON oznacza klasę liczb porządkowych. Poniższe twierdzenia można udowodnić w ZF (bez użycia aksjomatu wyboru).

Twierdzenie o dowodzeniu przez indukcję

Przypuśćmy, że $\varphi(x)$ jest formułą języka teorii mnogości z jedną zmienną wolną x. Załóżmy również, że dla każdej liczby porządkowej $\alpha$ zachodzi implikacja

$(\forall\beta<\alpha)(\varphi(\beta))\quad \Rightarrow\quad \varphi(\alpha)$.

Wówczas jest prawdziwe, że $(\forall\alpha\in {\mathbf{ON}})(\varphi(\alpha))$.

Powyższe twierdzenie formułuje się też w następujący sposób: każda niepusta klasa liczb porządkowych ma element najmniejszy.

Dowód: Przypuśćmy, że istnieje taka liczba porządkowa $\alpha_0$, że $\sim\varphi(\alpha_0)$. Wówczas zbiór $U=\{\alpha\leqslant \alpha_0\colon \sim\varphi(\alpha)\}$ jest niepusty. Wiadomo, że każda niepusta podklasa klasy wszystkich liczb porządkowych ma element najmniejszy, więc niech $\beta=\min U$. Jeśli $\gamma<\beta$, to również $\gamma <\alpha_0$, a więc na mocy założenia $\varphi(\gamma)$. Pokazuje to, że $\gamma\notin U$. Na mocy założenia, zachodzi także $\varphi(\beta)$ – sprzeczność.

Twierdzenie o definicji indukcyjnej

Przypuśćmy, że $f:{\mathbf V}\longrightarrow{\mathbf V}$ jest klasą, która jest też funkcją. Wówczas istnieje jedyna funkcja $g:{\mathbf{ON}}\longrightarrow{\mathbf V}$ (tak więc g jest też klasą) taka, że

$\left(\forall\alpha\in {\mathbf{ON}}\right)\left(g(\alpha)=f(g\upharpoonright\alpha)\right)$.

Uwagi o stosowaniu

• W twierdzeniu o definicji indukcyjnej, funkcja f reprezentuje przepis na konstrukcję obiektu związanego z liczbą $\alpha$ przy założeniu, że skonstruowaliśmy już ciąg $\langle g(\beta):\beta<\alpha\rangle$.
• W praktyce matematycznej, obydwa twierdzenia (zarówno o dowodzeniu jak i o definiowaniu indukcyjnym) są stosowane w odniesieniu do zbioru liczb porządkowych, często więc do liczb porządkowych mniejszych od pewnej ustalonej liczby $\gamma\in{\mathbf{ON}}$. Wówczas w przypadku definicji indukcyjnej zarówno wyjściowa funkcja f jak i konstruowana funkcja g są zwykle zbiorami (a dziedziną tej ostatniej jest często właśnie liczba $\gamma$).
• Istnieją jednak sytuacje gdy indukcja jest robiona po wszystkich liczbach porządkowych. Tak się dzieje przy definiowaniu skali alefów, skali betów czy też uniwersum konstruowalnego (i przy wykazywaniu pewnych ich własności).
• Czasami, ze względu na różny charakter argumentacji, dowody indukcyjne są podzielone na różne rodzaje kroków, typowo następujące trzy:

Krok 0:   pokazujemy, że $\varphi(0)$ jest prawdziwe,

Krok następnikowy:   pokazujemy, że jeśli $\varphi(\beta)$ jest prawdziwe, to również $\varphi(\beta+1)$ zachodzi,

Krok graniczny:   pokazujemy, że jeśli $\alpha$ jest liczbą graniczną oraz $(\forall\beta<\alpha)(\varphi(\beta))$ jest prawdziwe, to również $\varphi(\alpha)$ jest prawdziwe.

• Wprawdzie same twierdzenia o indukcji nie wymagają AC, to często w ich zastosowaniach zakłada się ten aksjomat. Jest to zwykle spowodowane faktem, że musimy przetłumaczyć problem dotyczący jakiegoś zbioru A na problem o liczbach porządkowych, a to tłumaczenie osiągamy przez ponumerowanie elementów A przy użyciu liczb porządkowych. (Innymi słowy, zwykle najpierw musimy dobrze uporządkować rozważany obiekt, do czego jest potrzebny aksjomat wyboru.)
• W twierdzeniu o definicji indukcyjnej, właściwie nie można wyrażać jedyności funkcji w języku ZFC. Formalnie, można udowodnić następujące schematy twierdzeń:

• (istnienie) Dla każdej klasy f (danej przez formulę φ_f(x,y)) można znaleźć klasę g (danej przez formulę φ_g) taką, że

Jeśli $f:{\mathbf V}\longrightarrow{\mathbf V}$ jest funkcją, to też g jest funkcją $g:{\mathbf{ON}}\longrightarrow{\mathbf V}$ i

$\left(\forall\alpha\in {\mathbf{ON}}\right)\left(g(\alpha)=f(g\upharpoonright\alpha)\right)$.

• (jedyność) Dla każdej klasy f, g, g' :

Jeśli $\left(\forall\alpha\in {\mathbf{ON}}\right)\left(g(\alpha)=f(g\upharpoonright\alpha)\right)$ i także $\left(\forall\alpha\in {\mathbf{ON}}\right)\left(g'(\alpha)=f(g'\upharpoonright\alpha)\right)$,

to $g(\alpha)=g'(\alpha)$ dla każdego $\alpha$. (W tym drugim schemacie używamy twierdzenia o dowodzeniu przez indukcję.)

Przykłady zastosowania indukcji pozaskończonej

Definicje indukcyjne:

• Konstrukcja zbioru Bernsteina,
• Konstrukcja przestrzeni Novaka,
• Definicja hierarchii borelowskiej,
• Definicja termów booleowskich,
• Definicja skali alefów,
• Definicja skali betów,
• Definicje dodawania, mnożenia i potęgowania liczb porządkowych,
• Definicja klas Baire'a (dla funkcji pomiędzy przestrzeniami polskimi),
• Definicja uniwersum konstruowalnego,
• Definicja szerokości Cantora-Bendixsona przestrzeni rozproszonej,
• Definicja indeksu Szlenka.