Interpolacja (matematyka)

Interpolacja – metoda numeryczna polegająca na wyznaczaniu w danym przedziale tzw. funkcji interpolacyjnej, która przyjmuje w nim z góry zadane wartości w ustalonych punktach, nazywanych węzłami. Stosowana jest ona często w naukach doświadczalnych, gdzie dysponuje się zazwyczaj skończoną liczbą danych do określenia zależności między wielkościami oraz w celu uproszczenia skomplikowanych funkcji, np. podczas całkowania numerycznego. Interpolacja jest szczególnym przypadkiem metod numerycznych typu aproksymacja.

Definicja

Niech dany będzie przedział $[a, b] \subseteq \mathbb R$ oraz niech będzie dany skończony ciąg punktów $(x_k)_{k=0}^n$ z tego przedziału,

$a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b$.

Wyrazy $x_0,\ldots,x_n$ powyższego ciągu nazywane będą węzłami.

Przypuśćmy także, że zadane są wartości $y_k \in {\mathbb R}$ dla $k = 0, 1, \ldots, n$. Pary $(x_k, y_k)$ nazywa się punktami pomiarowymi.

Funkcję $f$ określoną na przedziale $[a, b]$ nazywamy funkcją interpolacyjną (również interpolującą) określoną w zadanych węzłach jeśli

$f(x_k)=y_k$ dla wszystkich $k=0,\ldots,n$.

Jeśli dana jest funkcja $\varphi:[a,b]\longrightarrow {\mathbb R}$ oraz $y_k = \varphi(x_k)$ dla każdego $k = 0, 1, \dots, n$, to funkcja interpolująca punkty pomiarowe $(x_k, y_k)$ (dla $k=0,\ldots,n$) może być nazwana interpolacją funkcji $\varphi$ w węzłach $x_0,\ldots,x_n$.

Na funkcję interpolującą $f$ nakłada się różne warunki prowadzące do różnych zadań interpolacyjnych i tak, jeśli zażądamy aby f była określonej klasy, to mówimy wówczas o interpolacji funkcjami tej klasy.

Interpolacja wielomianowa

Interpolacja liniowa

Interpolacja wielomianowa polega na przybliżaniu funkcji za pomocą wielomianów. Metoda ta była rozwinięta przez Josepha Lagrange'a a jej podstawą jest twierdzenie, że

Dla danych $n+1$ punktów pomiarowych istnieje jedyny wielomian stopnia co najwyżej n interpolujący te punkty.

Zwykle zakłada się o funkcji interpolowanej, że jest ciągła, choć często dodaje się warunki różniczkowalności, które umożliwiają dokładniejsze oszacowania błędów przybliżeń. Najprostszym przypadkiem jest interpolacja liniowa, zadanie interpolacji dla dwóch węzłów $x_0$ i $x_1$. Rozwiązaniem w klasie wielomianów pierwszego stopnia jest wtedy funkcja liniowa, której wykres przechodzi przez punkty $(x_0, f(x_0))$ i $(x_1, f(x_1)$ (por. rysunek).

Funkcje sklejane

Błąd interpolacji można zmniejszać poprzez zwiększanie liczby węzłów, jednak prowadzi to do dość szybkiego wzrostu złożoności obliczeniowej zadania, a spadek błędu nie jest pewny (efekt Rungego). Ponieważ wielomiany są funkcjami dość regularnymi nie nadają się zbytnio do przybliżania funkcji nieregularnych na większych przedziałach. Z tego powodu wybiera się interpolację wielomianami niskiego stopnia, jednak dzieli się przedział interpolacji na mniejsze i na każdym z nich przeprowadza niezależnie interpolację. Aby poprawić przybliżenie nakłada się dodatkowe warunki gładkości na brzegach podziałów, zwykle zgodność pochodnych stopnia o jeden mniejszego niż stopień użytych do interpolacji wielomianów, co wraz z ustalonymi warunkami brzegowymi daje jednoznaczność rozwiązania zadania.

Funkcje trygonometryczne

Interpolacja trygonometryczna służy przede wszystkim przybliżaniu funkcji okresowych. Idea stojąca za tą interpolacją jest następująca: wielomiany z powodu braku okresowości powodują duże błędy podczas przybliżeń funkcji okresowych, z tego względu używa się zamiast nich funkcji trygonometrycznych mających charakter okresowy.