Interpolacja wielomianowa

Interpolacja wielomianowa, nazywana też interpolacją Lagrange'a, od nazwiska pioniera badań nad interpolacją Josepha Lagrange'a, lub po prostu interpolacją jest metodą numeryczną przybliżania funkcji tzw. wielomianem Lagrange'a stopnia n, przyjmującym w n+1 punktach, zwanych węzłami interpolacji wartości takie same jak przybliżana funkcja.

Interpolacja jest często stosowana w naukach doświadczalnych, gdzie dysponuje się zazwyczaj skończoną liczbą danych do określenia zależności między wielkościami.

Zgodnie z twierdzeniem Weierstrassa dowolną funkcję y=f(x) ciągłą na przedziale domkniętym można dowolnie przybliżyć za pomocą wielomianu odpowiednio wysokiego stopnia.

Interpolacja liniowa

Interpolacja liniowa

Jest przypadkiem interpolacji wielomianowej dla dwóch punktów pomiarowych $x_0$ i $x_1$, dla których można utworzyć funkcję liniową, której wykres przechodzi przez punkty $(x_0,f(x_0))$ i $(x_1,f(x_1))$.

Ogólna metoda

Przykład interpolacji wielomianowej.

Metoda interpolacji polega na:

• wybraniu $n+1$ punktów $x_0,x_1,\cdots ,x_n$ należących do dziedziny $f$, dla których znane są wartości $y_0=f(x_0),y_1=f(x_1),\cdots ,y_n=f(x_n)$

• znalezieniu wielomianu $W(x)$ stopnia co najwyżej $n$ takiego, że $W(x_0)=y_0,W(x_1)=y_1,\cdots W(x_n)=y_n$.

Interpretacja geometryczna – dla danych $n+1$ punktów na wykresie szuka się wielomianu stopnia co najwyżej $n$, którego wykres przechodzi przez dane punkty

Znajdowanie odpowiedniego wielomianu

Wielomian przyjmujący zadane wartości w konkretnych punktach można zbudować w ten sposób:

• Dla pierwszego węzła o wartości $f(x_0)$ znajduje się wielomian, który w tym punkcie przyjmuje wartość $f(x_0)$, a w pozostałych węzłach $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ wartość zero.
• Dla kolejnego węzła znajduje sie podobny wielomian, który w drugim węźle przyjmuje wartość $f(x_1)$, a w pozostałych węzłach $x_0,x_2,\cdots ,x_n$ wartość zero.
• Dodaje się wartość ostatnio obliczonego wielomianu do wartości poprzedniego
• Dla każdego z pozostałych węzłów znajduje się podobny wielomian, za każdym razem dodając go do wielomianu wynikowego
• Wielomian będący sumą wielomianów obliczonych dla poszczególnych węzłów jest wielomianem interpolującym

Dowód ostatniego punktu i dokładny sposób tworzenia poszczególnych wielomianów opisany jest poniżej w dowodzie istnienia wielomianu interpolującego będącego podstawą algorytmu odnajdowania tego wielomianu.

Dowód istnienia wielomianu interpolującego

Niech $x_0,x_1,\cdots ,x_n$ będą węzłami interpolacji funkcji $\! f$ takimi, że znane są wartości $\! f(x_0)=y_0,f(x_1)=y_1,\cdots ,f(x_n)=y_n$

Można zdefiniować funkcję:

$L_i(x)=\prod_{j = 0 \and j\ne i}^n \frac{x-x_j}{x_i-x_j}\ \ \ \ \$, $i\in {0,1\cdots ,n}$

taką, że dla $x\notin \{x_0,x_1,\cdots ,x_n\}$ $L_i(x)$ jest wielomianem stopnia $n$ (mianownik jest liczbą, a licznik iloczynem $n$ wyrazów postaci $(x-x_{j\ })$)

• Gdy $x_k\in \{x_0,x_1,\cdots ,x_n\}$ i $k=i$:

$L_i(x_k)=L_i(x_i)=\prod_{j = 0 \and j\ne i}^n (\frac{x_i-x_j}{x_i-x_j})=\prod_{j = 0 \and j\ne i}^n (1) = 1$

• Gdy $x_k\in \{x_0,x_1,\cdots ,x_n\}$ i $k\not=i$:

$L_i(x_k)=\prod_{j = 0 \and j\ne i}^n \frac{x_k-x_j}{x_i-x_j}\ =\frac{(x_k-x_0)\cdot (x_k-x_1)\cdot \cdots \cdot (x_k-x_{k })\cdot \cdots (x_k-x_n) }{(x_i-x_0)\cdot (x_i-x_1)\cdot \cdots \cdot (x_i-x_{i-1 })\cdot (x_i-x_{i+1 })\cdot \cdots (x_i-x_n) }\ =\ 0\ \$

(licznik = 0 ponieważ występuje element $(x_k-x_k)$)

Niech $\! W(x)$ będzie wielomianem stopnia co najwyżej $n$, określonym jako:

$\! W(x)=y_0\cdot L_0(x) + y_1\cdot L_1(x) + y_2\cdot L_2(x) + \cdots + y_n\cdot L_n(x)$

Dla $\! x_i \in \{x_0,x_1,\cdots ,x_n\}$

$W(x_i)= y_0\cdot L_0(x_i) + y_1\cdot L_1(x_i) + \cdots + y_i\cdot L_i(x_i) + \cdots + y_n\cdot L_n(x_i)$.

Wszystkie składniki sumy o indeksach różnych od $i$ są równe zeru (ponieważ dla $j\not=i\ \ L_i(x_j)\ =\ 0)$, składnik o indeksie $i$ jest równy:

$L_i(x_i)\cdot y_i\ =\ 1\cdot y_i\ =\ y_i$.

A więc

$\! W(x_i)=y_i$

z czego wynika, że $\! W(x)$ jest wielomianem interpolującym funkcję $\! f(x)$ w punktach $x_0,x_1,\cdots ,x_n$.

Jednoznaczność interpolacji wielomianowej

Dowód

Załóżmy, że istnieją dwa tożsamościowo różne wielomiany $W_1(x)$ i $W_2(x)$ stopnia $n$, przyjmujące w węzłach $\! x_0,x_1,\cdots ,x_n$ takie same wartości.

Niech

$\! W_3(x) = W_1(x) - W_2(x)$

będzie wielomianem. Jest on stopnia co najwyżej $n$ (co wynika z własności odejmowania wielomianów).

Ponieważ $W_1(x)$ i $W_2(x)$ w węzłach $x_i : i \in 0,1,\cdots ,n$ interpolują tę samą funkcję, to $W_1(x_i)=W_2(x_i)$, a więc $W_3(x_i)=0$ (węzły interpolacji są pierwiastkami $W_3(x)$).(*)

Ale każdy niezerowy wielomian stopnia $n$ ma co najwyżej $n$ pierwiastków rzeczywistych, a ponieważ z (*) wiadomo, że $\! W_3(x)$ ma $n+1$ pierwiastków, to $W_3(x)$ musi być wielomian tożsamościowo równy zeru. A ponieważ

$\! W_3(x)\ =\ W_1(x) - W_2(x)\ =\ 0$

to

$\! W_1(x)\ =\ W_2(x)$

co jest sprzeczne z założeniem, że $W_1(x)$ i $W_2(x)$ są różne.

Błąd interpolacji

Dość naturalne wydaje się przyjęcie, że zwiększenie liczby węzłów interpolacji (lub stopnia wielomianu interpolacyjnego) pociąga za sobą coraz lepsze przybliżenie funkcji f(x) wielomianem $L_n(x)$. Idealna byłaby zależność:

$\! \lim_{n \to \infty}L_n(x) = f(x)$,

tj. dla coraz większej liczby węzłów wielomian interpolacyjny staje się "coraz bardziej podobny" do interpolowanej funkcji.

Dla węzłów równo odległych tak być nie musi → efekt Rungego.

Można dowieść, że dla każdego wielomianu interpolacyjnego stopnia $n$, przybliżającego funkcję $f(x)$ w przedziale $[a,b]$ na podstawie $n+1$ węzłów, istnieje taka liczba $\! \xi$ zależna od $x$, że dla reszty interpolacji $\! r(x)$

$\! \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\cdot p_n(x)\le r(x)$

gdzie $p_n(x)=(x-x_0)(x-x_1)\cdots (x-x_n)$, a $\xi \in [a;b]$ jest liczbą zależną od x.

Do oszacowania z góry wartości $r(x)$ można posłużyć się wielomianami Czebyszewa stopnia $n+1$ do oszacowania wartości $p_n(x)$ dla $x\in [-1,1]$. Dla przedziału $[a,b]$ wystarczy dokonać przeskalowania wielomianu $p_n(x)$

Zobacz też

• postać Newtona wielomianu
• postać Lagrange'a wielomianu
• postać Hermite'a wielomianu