Izometria

Przykład izometrii: obrót jako złożenie dwóch odbić.

Izometria (gr. isos – równy, métron – miara; także przekształcenie izometryczne, izomorfizm izometryczny) – funkcja zachowująca odległości między punktami przestrzeni metrycznej. W geometrii figury między którymi zachodzi izometria (są izometryczne) nazywa się przystającymi.

Z izometrii korzysta się często podczas konstrukcji zanurzeń jednej przestrzeni w inną. Na przykład uzupełnienie przestrzeni metrycznej wymaga wzięcia izometrii tej przestrzeni w siebie i przestrzeni ilorazowej ciągów Cauchy'ego wspomnianej przestrzeni. W ten sposób oryginalna przestrzeń jest izometrycznie izomorficzna z podprzestrzenią zupełnej przestrzeni metrycznej i jest często z nią utożsamiana. Inne konstrukcje zanurzeń pokazują, że każda przestrzeń metryczna jest izometrycznie izomorficzna z pewną przestrzenią unormowaną, a każda przestrzeń metryczna zupełna jest izometrycznie izomorficzna z zamkniętym podzbiorem pewnej przestrzeni Banacha.

Geometria euklidesowa

Przekształcenie $f$ płaszczyzny euklidesowej lub przestrzeni euklidesowej nazywa się izometrią, jeżeli zachowuje odległość dowolnych dwóch jej punktów $A, B$, tzn.

$A^* B^* = AB$,

gdzie $X^* = f(X)$ oznacza obraz punktu $X$.

Każde dwa przystające odcinki są równej długości, a każde dwa przystające kąty są jednakowej rozwartości (i na odwrót: równość odcinków i miar kątów oznacza, że są one przystające). Podobnie ma się rzecz z okręgami o równych promieniach. Dowolne dwie proste i półproste są przystające. Izometrie zachowują także współliniowość punktów i ich kolejność na prostej. Więcej o przystawaniu trójkątów można znaleźć w artykule dot. przystawania. Przystawanie wielokątów opisuje się dzieląc je na trójkąty. Ważnym niezmiennikiem izometrii jest pole i objętość figury geometrycznej.

Izometria przestrzeni euklidesowej, która jest przekształceniem liniowym jest też przekształceniem ortogonalnym.

Parzystość

Pojęcie parzystości izometrii jest blisko związane z pojęciem orientacji. Na prostej można wyróżnić dwa „kierunki”, mianowicie w „lewo” i w „prawo”. Jest to dość intuicyjne: na płaszczyźnie należy wziąć pod uwagę trójkąt – jego wierzchołki można opisać od „zgodnie z ruchem wskazówek zegara” lub na odwrót. W przestrzeni, co może być zaskakujące, również wyróżnia się tylko dwie orientacje: „prawoskrętną” i „lewoskrętną” (więcej, w każdej przestrzeni euklidesowej wyróżnia się dokładnie dwie orientacje). Ponieważ każda przestrzeń euklidesowa ma bazę kanoniczną, to właśnie orientację zgodną z nią nazywa się dodatnią, a niezgodną – ujemną (przyjęło się określać dodatnimi orientacje: „w prawo”, „przeciwnie do ruchu wskazówek zegara” oraz „prawoskrętną”).

Na płaszczyźnie każda symetria osiowa zmienia orientację. Izometrię płaszczyzny można przedstawić jako złożenie co najwyżej trzech symetrii osiowych. Nieparzysta liczba symetrii w tej postaci powoduje zmianę orientacji – takie izometrie nazywa się nieparzystymi. Jeżeli daną izometrię da się przedstawić jako złożenie parzystej (lub zerowej) liczby symetrii – taka izometria nie zmienia orientacji – to nazywa się ją parzystą.

Podobnie ma się rzecz z izometriami przestrzeni trójwymiarowej – każdą z nich można przedstawić w postaci złożenia co najwyżej czterech symetrii płaszczyznowych, które zmieniają orientację przestrzeni. Te, które można przedstawić jako złożenie nieparzystej liczby symetrii nazywa się nieparzystymi, pozostałe zaś – parzystymi.

Algebraicznie można opisać jak następuje. Wyznacznik izometrii (macierzy przekształcenia izometrycznego) jest równy $1$ bądź $-1$. Te, które mają wyznacznik równy $1$ zachowują orientację, a więc są parzyste, te które mają wyznacznik równy $-1$ zmieniają orientację, czyli są nieparzyste. Wówczas $\det\colon \operatorname{Iso} \to \{-1, 1\}$ jest homomorfizmem grupy izometrii w grupę dwuelementową. Jądrem tego przekształcenia są izometrie parzyste i jako takie tworzą podgrupę normalną w grupie izometrii. Ponieważ identyczność jest parzysta, to izometrie nieparzyste nie stanowią grupy, generują one jednak całą grupę izometrii.

Klasyfikacja izometrii

Prosta

Na prostej można wyróżnić następujące rodzaje izometrii:

• parzyste
  • tożsamość,
  • przesunięcie (translacja);
• nieparzyste
  • symetria środkowa.

Płaszczyzna

Na płaszczyźnie można wyróżnić następujące rodzaje izometrii:

• parzyste
  • tożsamość,
  • przesunięcie (translacja),
  • obrót;
• nieparzyste
  • symetria osiowa,
  • symetria z poślizgiem (o wektor niezerowy).

Przestrzeń trójwymiarowa

W przestrzeni wyróżnia się następujące rodzaje izometrii:

• parzyste
  • tożsamość,
  • przesunięcie (translacja),
  • obrót wokół prostej
  • ruch śrubowy (obrót wokół prostej z przesunięciem);
• nieparzyste
  • symetria płaszczyznowa,
  • symetria płaszczyznowa z poślizgiem (o wektor niezerowy),
  • symetria obrotowa (obrót wokół prostej z symetrią).

Przestrzenie metryczne

Pojęcie izometrii występuje w dwóch zasadniczych odmianach: izometrii globalnej i słabszej izometrii drogowej lub izometrii łukowej. Obie nazywane są po prostu izometriami, dlatego o żądanym rodzaju izometrii należy wnioskować z kontekstu.

Niech $(X, d_X)$ i $(Y, d_Y)$ będą przestrzeniami metrycznymi. Odwzorowanie $f\colon X \to Y$ nazywa się zachowującym odległość, jeżeli dla dowolnych $a, b \in X$ zachodzi

$d_Y(f(a), f(b)) = d_X(a, b)$.

Odwzorowanie zachowujące odległość jest koniecznie iniektywne (różnowartościowe) oraz ciągłe. Każda izometria przestrzeni metrycznych musi być zanurzeniem topologicznym.

Przestrzenie metryczne $X$ i $Y$ nazywa się izometrycznymi, jeżeli istnieje izometria z $X$ w $Y$. Zbiór izometrii przestrzeni metrycznej w siebie jest grupą względem składania przekształceń nazywana grupą izometrii będącą podgrupą grupy wszystkich bijekcji danej przestrzeni metrycznej w siebie.

Izometria globalna to bijektywne (wzajemnie jednoznaczne) odwzorowanie zachowujące odległość. Izometria drogowa lub łukowa to (niekoniecznie bijektywne) odwzorowanie zachowujące długość krzywej.

Przykłady

• Przekształcenie identycznościowe $x \mapsto x$ przestrzeni metrycznej w siebie jest izometrią.
• Dowolne odbicie, przesunięcie i obrót są izometriami globalnymi przestrzeni euklidesowych. Zob. grupa euklidesowa.
• Przekształcenie $\mathbb R \to \mathbb R$ zdefiniowane wzorem $x \mapsto |x|$ jest izometrią drogową, lecz nie globalną.
• Izometryczne przekształcenia liniowe $\mathbb C^n$ w siebie opisywane są przez macierze unitarne. Izometryczny, suriektywny operator liniowy na przestrzeni Hilberta jest nazywany operatorem unitarnym.
• W przestrzeni euklidesowej $\mathbb R^2$ przekształcenie określone wzorem $(x, y) \to (x, -y)$ jest izometrią.
• Niech w przestrzeni $\ell^1$ wszystkich ciągów $(x_n)$ liczb rzeczywistych takich, że szereg liczbowy $\sum_n |x_n|$ jest zbieżny, dana będzie określona odległość $d$ między dowolnymi ciągami $x = (x_n)$ i $y = (y_n)$ określona wzorem:

$d(x, y) = \sum\limits_{n} |x_n - y_n|$.

• Przekształcenie powyższej przestrzeni w siebie określone wzorem: $(x_1, x_2, x_3, \dots) \to (0, x_1, x_2, x_3, \dots)$ jest izometrią, lecz nie jest na.

Izometrie liniowe

Dla danych dwóch przestrzeni unormowanych $V$ oraz $W$ izometrią liniową nazywa się takie przekształcenie liniowe $f\colon V \to W$, które zachowuje normę:

$\|f(v)\| = \|v\|$

dla wszystkich $v \in V$. Izometrie liniowe są przekształceniami zachowującymi odległości w powyższym sensie. Są one izometriami globalnymi wtedy i tylko wtedy, gdy są suriekcjami.

Z twierdzenia Mazura-Ulama wynika, że dowolna izometria między przestrzeniami unormowanymi nad $\mathbb R$ jest przekształceniem afinicznym.

Uogólnienia

• Dla ustalonej dodatniej liczby rzeczywistej $\varepsilon$ odwzorowanie $f\colon X \to Y$ przestrzeni metrycznych nazywa się $\varepsilon$-izometrią (lub aproksymacją Hausdorffa), jeżeli
  1. dla $x, x^' \in X$ zachodzi $|d_Y(f(x), f(x^')) - d_X(x, x^')| < \varepsilon$ oraz
  2. dla każdego $y \in Y$ istnieje punkt $x \in X$, że $d_Y(y, f(x)) < \varepsilon$.

Innymi słowy $\varepsilon$-izometria zachowuje odległości wewnątrz $\varepsilon$ i nie pozostawia żadnego elementu przeciwdziedziny w ogległości większej niż $\varepsilon$ od obrazu elementu dziedziny. Uwaga: od $\varepsilon$-izometrii nie wymaga się, by były ciągłe.

• Innym użytecznym uogólnieniem jest quasi-izometria.

Twierdzenie Beckmana-Quarlesa

Twierdzenie Beckmana-Quarlesa mówi, że dowolne przekształcenie przestrzeni euklidesowej wymiaru co najmniej dwa w siebie, które zachowuje własność bycia w odległości jednostkowej musi być izometrią.

Zobacz też

• rzut izometryczny

Bibliografia

• Marek Kordos, Lesław Włodzimierz Szczerba: Geometria dla nauczycieli. Warszawa: 1976.