Izomorfizm porządków

Izomorfizm porządków – pojęcie w matematyce określające funkcję pomiędzy dwoma zbiorami uporządkowanymi pokazującą, że porządki te wyglądają tak samo. Termin ten jest również używany na określenie relacji bycia izomorficznymi porządkami.

Definicja

Niech $(X,\leqslant)$, $(Y,\sqsubseteq)$ będą porządkami częściowymi. Powiemy, że funkcja $f\colon X \longrightarrow Y$ jest izomorfizmem porządków X i Y jeśli

• $f$ jest wzajemnie jednoznaczna, oraz
• $(\forall x,y\in X)(f(x)\sqsubseteq f(y) \iff x\leqslant y)$.

Porządki $(X,\leqslant)$, $(Y,\sqsubseteq)$ nazywamy izomorficznymi gdy istnieje pomiędzy nimi izomorfizm.

Własności

Niech $(X,\leqslant)$, $(Y,\sqsubseteq)$ będą porządkami częściowymi. Jeśli porządki te są izomorficzne, to

• zbiory $X$ i $X'$ są równej mocy (ponieważ izomorfizm jest bijekcją)
• porządki $(X,\leqslant)$, $(X',\leqslant')$ mają podobną strukturę, tzn. muszą mieć taką samą liczbę elementów wyróżnionych: maksymalnych, minimalnych, oba muszą jednocześnie mieć lub nie mogą mieć elementu największego/najmniejszego.

Przykłady

Niech $\mathbb{N},\mathbb{Z}, \mathbb{Q},\mathbb{R}$ oznaczają zbiory liczb naturalnych, całkowitych, wymiernych i rzeczywistych, odpowiednio, a $\leqslant$ niech będzie naturalnym porządkiem.

• Porządki $(\mathbb{N},\leqslant)$ i $(\mathbb{R},\leqslant)$ nie są izomorficzne (zbiory $\mathbb{N}$ i $\mathbb{R}$ są różnej mocy)
• Porządki $(\mathbb{N},\leqslant)$ i $(\mathbb{Q},\leqslant)$ nie są izomorficzne - co prawda zbiory są równej mocy, lecz zbiór $\mathbb{Q}$ jest gęsty, a $\mathbb{N}$ nie.
• Porządki $(\mathbb{N},\leqslant)$ i $(\mathbb{Z},\leqslant)$ nie są izomorficzne, bo w $\mathbb{N}$ 0 jest elementem najmniejszym, a w $\mathbb{Z}$ nie ma elementu najmniejszego.
• Niech $(\mathbb{P},\leqslant)$ będzie zbiorem wszystkich liczb pierwszych z naturalnym porządkiem. Wówczas porządki $(\mathbb{N},\leqslant)$ i $(\mathbb{P},\leqslant)$ są izomorficzne, a izomorfizmem pomiędzy nimi jest funkcja odwzorowująca liczbę naturalną n na n-tą liczbę pierwszą.