Jędrna rodzina miar

Jędrność (ciasność) (ang. tight) – w matematyce pojęcie teorii miary formalizujące intuicyjną własność zbioru miar, które nie „uciekają do nieskończoności”. Twierdzenie charakteryzujące jędrne rodziny rozkładów nazywane jest twierdzeniem Prochorowa.

Definicja

Niech $(X, \tau)$ będzie przestrzenią topologiczną, i niech $\mathfrak M$ będzie σ-algebrą na $X$ zawierającą topologię $\tau$ (czyli każdy podzbiór otwarty w $X$ jest mierzalny, $\mathfrak M$ może być σ-algebrą borelowską na $X$). Niech $M$ będzie rodziną miar określonych na $\mathfrak M$.

Rodzinę $M$ nazywa się jędrną (bądź ciasną), jeżeli dla dowolnego $\varepsilon > 0$ istnieje zwarty podzbiór $K_\varepsilon$ przestrzeni $X$, że dla wszystkich miar $\mu \in M$ zachodzi

$\mu(X \setminus K_\varepsilon) < \varepsilon$.

Często rozpatrywanymi miarami są miary probabilistyczne, wtedy ostatnia część może być równoważnie przedstawiona jako

$\mu(K_{\varepsilon}) > 1 - \varepsilon$.

Przykłady

Przestrzenie zwarte

Jeżeli $X$ jest przestrzenią zwartą, to każda rodzina miar probabilistycznych na $X$ jest jędrna.

Rodzina mas punktowych

Niech dana będzie prosta rzeczywista $\mathbb R$ z topologią naturalną (euklidesową). Dla $x \in \mathbb R$ niech $\delta_x$ oznacza miarę Diraca skupioną w $x$. Wówczas rodzina

$M_1 := \{\delta_n\colon n \in \mathbb N\}$

nie jest jędrna, ponieważ zwartymi podzbiorami $\mathbb R$ są te i tylko te, które są domknięte i ograniczone, a każdy taki zbiór, ponieważ jest ograniczony, jest $\delta_n$-miary zero dla dostatecznie dużych $n$. Z drugiej strony, rodzina

$M_2 := \{\delta_{1/n}\colon n \in \mathbb N\}$

jest ciasna: przedział zwarty $[0, 1]$ będzie pełnił rolę $K_\varepsilon$ dla dowolnego $\varepsilon > 0$. W ogólności rodzina miar delt Diraca na $\mathbb R^n$ jest jędrna wtedy i tylko wtedy, gdy rodzina ich nośników jest ograniczona.

Rodzina miar gaussowskich

Niech dana będzie $n$-wymiarowa przestrzeń euklidesowa $\mathbb R^n$ ze standardową topologią i σ-algebrą zbiorów borelowskich oraz rodzina miar gaussowskich

$\Gamma = \{\gamma_i\colon i \in I\}$,

gdzie zmienna losowa o rozkładzie $\gamma_i$ ma wartość oczekiwaną $\mu_i\in \mathbb R^n$ oraz wariancję $\sigma_i^2 > 0$. Wtedy rodzina $\Gamma$ jest jędrna wtedy i tylko wtedy, gdy obie rodziny $\{\mu_i\colon i \in I\} \subseteq \mathbb R^n$ oraz $\{\sigma_i^2\colon i \in I\} \subseteq \mathbb R$ są ograniczone.

Analiza przykładu w przypadku jednowymiarowym.

Niech $m^*,\sigma^*,m_i,\sigma_i\in {\mathbb R}$ będą takie, że

$-m^*<m_i<m^*$ oraz $0<\sigma_i<\sigma^*$ dla wszystkich $i\in I$.

Niech $\gamma_i=N(m_i,\sigma_i^2)$ będzie rozkładem normalnym ze średnią $m_i$ oraz odchyleniem standardowym $\sigma_i$. Wykarzemy, że rodzina miar $\{\gamma_i:i\in I\}$ jest jędrna.

Niech będzie dane $\varepsilon>0$. Dla $m\in {\mathbb R}$ oraz $\sigma>0$ niech $\Phi_{m,\sigma}$ będzie dystrybuantą rozkładu normalnego $N(m,\sigma)$ i niech $\Phi_{0,1}=\Phi$. Z własności rozkładu normalnego wiemy, że:

• możemy znaleźć $x^*>0$ takie, że $\Phi(x^*)=1-\frac{\varepsilon}{3}$ oraz $\Phi(-x^*)=\frac{\varepsilon}{3}$;
• $\Phi_{m,\sigma^2}(x)= \Phi\Bigl(\frac{x-m}{\sigma}\Bigr)$ dla wszystkich $x\in{\mathbb R}$.

Połóżmy

$d^-=-m^*-\sigma^*\cdot x^*$ oraz $d^+=m^*+\sigma^*\cdot x^*$.

Na mocy naszych założeń o $m_i,\sigma_i$ mamy, że dla $i\in I$:

$\frac{m^*+\sigma^*\cdot x^*-m_i}{\sigma_i}\geqslant\frac{m_i+\sigma_i\cdot x^*-m_i}{\sigma_i}$

oraz

$\frac{-m^*-\sigma^*\cdot x^*-m_i}{\sigma_i}\leqslant\frac{m_i-\sigma_i\cdot x^*-m_i}{\sigma_i}$.

Stąd

$\Phi_{m_i,\sigma^2_i}(d^+)=\Phi_{m_i,\sigma^2_i}(m^*+\sigma^*\cdot x^*)=\Phi\Bigl(\frac{m^*+\sigma^*\cdot x^*-m_i}{\sigma_i}\Bigr)\geqslant\Phi\Bigl(\frac{m_i+\sigma_i\cdot x^*-m_i}{\sigma_i}\Bigr)=\Phi(x^*)=1-\frac{\varepsilon}{3}$

oraz

$\Phi_{m_i,\sigma^2_i}(d^-)=\Phi_{m_i,\sigma^2_i}(-m^*-\sigma^*\cdot x^*)=\Phi\Bigl(\frac{-m^*-\sigma^*\cdot x^*-m_i}{\sigma_i}\Bigr)\leqslant\Phi\Bigl(\frac{m_i-\sigma_i\cdot x^*-m_i}{\sigma_i}\Bigr)=\Phi(-x^*)=\frac{\varepsilon}{3}$

Teraz, dla każdego $i \in I$ mamy

$\gamma_i([d^-,d^+]) = \Phi_{m_i,\sigma_i^2}(d^+) - \Phi_{m_i,\sigma_i^2}(d^-) \geqslant 1 - \tfrac{\varepsilon}{3} - \tfrac{\varepsilon}{3} > 1 - \varepsilon$,

a zbiór $[d^-,d^+]$ jest zwarty jako domknięty i ograniczony przedział prostej rzeczywistej, więc rodzina rozkładów $N(m_i,\sigma_i^2)$ jest jędrna.

Jędrność a zbieżność

Jędrność jest często warunkiem koniecznym do udowodnienia słabej zbieżności ciągu miar probabilistycznych, szczególnie, przestrzeń mierzalna jest nieskończonego wymiaru. Zobacz

• rozkład skończeniewymiarowy,
• twierdzenie Prochorowa,
• Jędrność w klasycznej przestrzeni Wienera,
• Jędrność w przestrzeni Skorohoda.

Jędrność wykładnicza

Uogólnieniem jędrności jest tzw. jędrność wykładnicza, która znalazła swoje zastosowania w teorii wielkich odchyleń. Rodzinę miar probabilistycznych $(\mu_\delta)_{\delta > 0}$ na przestrzeni topologicznej Hausdorffa $X$ nazywa się jędrną (ciasną) wykładniczo, jeśli dla dowolnego $\varepsilon > 0$ istnieje podzbiór zwarty $K_\varepsilon$ przestrzeni $X$ taki, że

$\limsup_{\delta \downarrow 0} \delta \log \mu_\delta (X \setminus K_\varepsilon) < -\varepsilon$.

Bibliografia

• Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: SCRIPT, 2004. 
• Patrick Billingsley: Probability and Measure. Nowy Jork: John Wiley & Sons, Inc., 1995. ISBN 0-471-00710-2. 
• Patrick Billingsley: Convergence of Probability Measures. Nowy Jork: John Wiley & Sons, Inc., 1999. ISBN 0-471-19745-9.