Kąt dopisany

α - kąt dopisany, β - kąt wpisany, α=β

Kąt dopisany do okręgu w punkcie X, należący do okręgu, to kąt wypukły, wyznaczony przez styczną do okręgu w punkcie X oraz półprostą, zawierającą cięciwę o końcu w punkcie X. Można go również opisać jako zdegenerowany kąt wpisany, którego ramię jest styczne do okręgu.

Miary kąta wpisanego opartego na danym łuku i kąta dopisanego wyznaczającego ten sam łuk są równe.

Dowód

Weźmy trójkąt wpisany w okrąg taki, że jednym z jego ramion jest cięciwa, a drugim średnica wychodząca z punktu styczności. Kąt między cięciwą a trzecim bokiem jest prosty, bo jest oparty na średnicy. Kąt między styczną a średnicą wychodzącą z punktu styczności jest prosty, więc kąt między wyznaczoną średnicą a cięciwą jest równy $\pi/2-\alpha$, gdzie α jest miarą danego kąta dopisanego. Suma kątów w trójkącie wynosi π, więc trzeci kąt jest równy $\pi-\pi/2-(\pi/2-\alpha)=\alpha$, a więc równy co do miary kątowi dopisanemu.

Wyznaczony kąt jest kątem wpisanym opartym na danej cięciwie, a wszystkie takie kąty znajdujące się po danej stronie cięciwy są przystające, więc wszystkie przystają do danego kąta dopisanego, co kończy dowód.