Kąt między dwiema krzywymi

Kątem przecięcia się dwóch krzywych gładkich ( f(x) i g(x) ) nazywamy kąt ostry przecięcia się stycznych do danych krzywych w punkcie x₀. Tangens tego kąta dla wykresów dwóch funkcji gładkich możemy obliczyć ze wzoru:

$\operatorname{tg}\varphi = \left|{f'(x_0) - g'(x_0)\over{1 + f'(x_0) g'(x_0)}}\right|$    dla    $1 + f'(x_0) g'(x_0) \ne 0$

Jeżeli

$1 + f'(x_0) g'(x_0) = 0 \implies \varphi = 90^\circ$

Wyprowadzenie wzoru

Mamy dane 2 dowolne funkcje f(x) oraz g(x) przecinające się w punkcie x₀ oraz różniczkowalne w tym punkcie. Wówczas przez punkt x₀ przechodzą styczne do obydwu wykresów, tworzące pewien kąt φ. Kąt nachylenie stycznej do f(x) nazwiemy β (kąt między styczną a osią OX), kąt nachylenia stycznej do g(x) nazwiemy α.

Styczne oraz oś OX tworzy trójkąt, w którym

$\alpha + (\pi-\beta) + \varphi = \pi$

stąd mamy,że

$\varphi = \beta - \alpha$

więc

$\operatorname{tg}\varphi = \operatorname{tg}(\beta - \alpha)$

Z prawej strony zastosujemy wzór na tangens różnicy kątów i otrzymujemy:

$\operatorname{tg}\varphi=\left|{\operatorname{tg}\beta - \operatorname{tg}\alpha\over{1+\operatorname{tg}\beta\operatorname{tg}\alpha}}\right|$

Wiemy również, że

$\operatorname{tg}\beta=f'(x_0)$ oraz $\operatorname{tg}\alpha=g'(x_0)$

Podstawiając do wzoru otrzymujemy

$\operatorname{tg}\varphi = \left|{f'(x_0) - g'(x_0)\over{1 + f'(x_0) g'(x_0)}}\right|$

Zobacz też

• Kąt między dwiema prostymi