Kategoria (matematyka)

Kategoria – pojęcie wyodrębniające szereg algebraicznych własności rodzin morfizmów między obiektami matematycznymi tego samego typu (zbiorów, przestrzeni topologicznych, przestrzeni liniowych, grup itp.) pod warunkiem, że te rodziny zawierają odwzorowanie tożsamościowe i są zamknięte względem kolejnego wykonywania superpozycji (lub iloczynu) odwzorowań. Pojęcie kategorii zostało wprowadzone w pracy Eilenberga i Mac Lane.

Formalnie każda kategoria $\mathfrak{K}$ składa się z dwóch klas:

• klasy $Ob\mathfrak{K}$, której elementy nazywamy obiektami kategorii $\mathfrak{K}$,
• klasy $Mor\mathfrak{K}$, której elementy nazywamy morfizmami kategorii $\mathfrak{K}$, przy czym morfizmy muszą mieć następujące własności:
  • każdej parze uporządkowanej $\langle A, B \rangle\;$ dwóch obiektów A, B przyporządkowana jest klasa $Mor (A, B)\;$ morfizmów (strzałek) z A do B (oznaczanego też czasem $H_\mathfrak{K} (A, B)$, $Hom (A, B)\;$ lub $H (A, B)\;$) . Jeżeli $f \in Mor (A, B)$, to A nazywamy początkiem lub dziedziną określoności morfizmu f, a B - jego końcem; czasem zamiast $f \in Mor(A, B)$ piszemy $f: A \rightarrow B$,
  • każdy morfizm f należy do tylko jednej klasy $Mor (A, B)\;$,
  • w klasie $Mor\mathfrak{K}$ określone jest częściowe prawo mnożenia: iloczyn morfizmów $f: A \rightarrow B$, $g: C \rightarrow D$ jest określony wtedy i tylko wtedy, gdy B = C i należy on wtedy do zbioru $Mor (A, D)\;$; nazywamy go złożeniem morfizmów f i g i oznaczamy $f \circ g$ lub fg.
  • złożenie morfizmów jest łączne; jeżeli $f: A \rightarrow B$, $g: B \rightarrow C$ oraz '$h: C \rightarrow D$ to wówczas $f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h$,
  • do każdego $Mor (A, A)\;$ należy taki morfizm id_A, że dla dowolnych morfizmów '$f: X \rightarrow A$ i $g: A \rightarrow Y$ mamy $f = id_A \circ f$ oraz $g = g \circ id_A$; morfizmy id_A nazywa się morfizmami identycznościowymi, morfizmami tożsamościowymi lub jednościami.

Z aksjomatów tych wynika że dla każdego obiektu istnieje dokładnie jeden morfizm identycznościowy.

Jeżeli $f \in \operatorname{Mor}(A,B)$ to piszemy $A=\operatorname{dom}(f)$ i $B = \operatorname{cod}(f)$.

Jeżeli rozpatrywane klasy obiektów i klasy morfizmów są zbiorami, to wówczas kategorię nazywamy małą. Istnieje wiele ważnych kategorii które nie są małe.

Jeżeli dla każdych obiektów $A,B$ klasa $\operatorname{Mor}(A,B)$ jest zbiorem, to wówczas kategorię nazywamy lokalnie małą.

Przykłady

Każda kategoria jest określana przez jej obiekty i morfizmy pomiędzy nimi.

• Kategoria Set wszystkich zbiorów wraz z funkcjami pomiędzy nimi (w niektórych źródłach oznaczana jako Ens, od francuskiego ensemble). Jej obiektami są zbiory, a morfizmami są odwzorowania między zbiorami. $Hom_{Set} (A, B)\;$ jest zbiorem odwzorowań zbioru A w zbiór B. Złożeniem morfizmów jest złożenie odwzorowań.
• Kategoria Gr (niekiedy Grp), której obiektami są grupy, a morfizmami homomorfizmy. $Hom_{Gr} (A, B)\;$ jest zbiorem homomorfizmów grupy A w grupę B. Złożeniem morfizmów jest złożenie homomorfizmów.
• Kategoria Ab, której obiektami są grupy abelowe, a morfizmy są ich homomorfizmami. $Hom_{Ab} (A, B)\;$ jest zbiorem homomorfizmów grupy A w grupę B. Złożeniem morfizmów jest złożenie homomorfizmów.
• Kategoria Vect_K, której obiektami są przestrzenie wektorowe nad ciałem K, a morfizmy są odwzorowaniami K-liniowymi.$Hom_{Vect_K} (A, B)$ jest zbiorem odwzorowań liniowych przestrzeni A w przestrzeń B. Złożeniem morfizmów jest złożenie odwzorowań liniowych.
• Kategoria Metr, której obiektami są przestrzenie metryczne, a morfizmami - odwzorowania nierozszerzające. $Hom_{Metr} (A, B)\;$ jest zbiorem odwzorowań nierozszerzających przestrzeni A w przestrzeń B. Złożeniem morfizmów jest złożenie odwzorowań nierozszerzających.
• Kategoria Top, której obiektami są przestrzenie topologiczne, a morfizmami są przekształcenia ciągłe. $Hom_{Top} (A, B)\;$ jest zbiorem przekształceń ciągłych przestrzeni A w przestrzeń B. Złożeniem morfizmów jest złożenie przekształceń.
• Kategoria Cat małych kategorii wraz ze wszystkimi funktorami.
• Kategoria Rel Ens relacji dwuargumentowych (binarnych) na zbiorach; klasa obiektów tej kategorii pokrywa się z klasą ObEns, a morfizmami ze zbioru A w zbiór B są wszystkie relacje dwuargumentowe między tymi zbiorami, tzn. podzbiory zbioru $A \times B$; złożenie morfizmów jest mnożeniem relacji.
• Ważnym przykładem kategorii, który jednocześnie pokazuje, że morfizmami nie zawsze muszą być przekształcenia, jest poset. Obiektom kategorii odpowiadają tu elementy posetu. Ponadto dla każdych dwóch obiektów (tj. elementów danego posetu) x, y istnieje morfizm z x do y wtedy i tylko wtedy gdy $x \leqslant y$. Łatwo można sprawdzić, że ze zwrotności relacji częściowego porządku wynika istnienie morfizmu identycznościowego dla każdego obiektu x, a z przechodniości wynika możliwość składania morfizmów.
• Każdy monoid można traktować jako kategorię z dokładnie jednym obiektem, przy czym morfizmy odpowiadają elementom monoidu.
• Dla dowolnej kategorii C możemy rozpatrywać kategorię, która składa się z obiektów kategorii C i w której zbiór morfizmów składa się z morfizmów odwrotnych do morfizmów z C. Taka nowa kategoria nazywana jest kategorią dualną do C i oznaczana jest jako C^op.

Zobacz też

• Jiri Adámek, Horst Herrlich, George E. Strecker: Abstract and Concrete Categories (ang.). [dostęp 2011-08-26].

• teoria kategorii

Bibliografia

1. Виноградов И. М. (red.): Математическая энциклопедия. T. 2. Москва: Советская энциклопедия, 1979. 
2. Eilenberg S., Mac Lane S.. „Trans. Amer. Math. Soc.”. 58, s. 231-294, 1945. Amer. Math. Soc.. 
3. Bucur I., Deleanu A.: Introduction to the Theory of Categories and Functors (tłum. ros.). Москва: Мир, 1972. 
4. Gabriel P., Zisman M.: Calculus of Fractions and Homotopy Theory (tłum. ros.). Москва: Мир, 1971.