Kolejność wykonywania działań

Kolejność wykonywania działań (w terminologii uniwersyteckiej reguły opuszczania nawiasów) – konwencja skracająca zapis matematyczny.

Obliczenia wartości wyrażenia algebraicznego, w którym występują nawiasy, zaczynamy od działań w nawiasach najbardziej wewnętrznych. Uwaga: w zapisie potęg, pierwiastków i ułamków (z kreską poziomą) mogą tkwić ukryte nawiasy, a mianowicie:

$a^w=a^{(w)} \,$,

$\sqrt{w}=\sqrt{(w)}$,

$\frac{u}{w}=\frac{(u)}{(w)}$;

gdzie $u\;$, $w\;$ są dowolnymi wyrażeniami.

Przyjmuje się też, że potęgowanie ma pierwszeństwo przed kreską ułamkową i znakiem "minus":

$-u^w = -(u^w)\;$

$\frac {u^w} z = \frac {(u^w)} z \;$

Minus, oznaczający liczbę przeciwną, tworzy nawias ukryty (ma pierwszeństwo) przed mnożeniem, dzieleniem, dodawaniem i odejmowaniem.

$-2+3 = (-2) + 3 \;$

Dodawanie i odejmowanie traktujemy równorzędnie i wykonujemy od lewej do prawej:

$1+2-3+4=((1+2)-3)+4\;$

Potęgowania wykonuje się od prawej do lewej, np.

$4^{3^2} = 4^{(3^2)} = 4^9 = 262144$

Jest to związane również z ekonomią zapisu – gdyby "piętrowe" potęgowanie wykonywać od lewej do prawej, zapis taki stałby się równoważny iloczynowi w wykładniku:

$\left(a^b\right)^c = a^{bc}, \quad \left(4^3\right)^2 = 64^2 = 4096 = 4^6 = 4^{3\cdot 2}.$

Dla dzielenia zapisywanego kreską ukośną / i mnożenia kolejność nie jest dokładnie ustalona. PWN zaleca autorom podręczników uniwersyteckich unikanie sytuacji w których mogłoby to doprowadzić do niejednoznaczności, np. $1/x \sin x\;$ można interpretować jako $\tfrac{1}{x\sin x}$ lub $\tfrac{1}{x}\sin x.$

Gdy nie ma nawiasów, to najpierw wykonujemy potęgowanie i pierwiastkowanie; potem znak "minus" oznaczający przeciwieństwo, następnie mnożenie i dzielenie (napisane przez dwukropek lub kreskę pochyłą); a na końcu dodawanie, odejmowanie.

Gdy powyższe reguły nie wyjaśniają porządku wykonywania (np. występuje kilkukrotne dzielenie: 1/2/3), to poprawny wynik daje wykonywanie mnożeń, dzieleń, dodawań i odejmowań od lewej strony do prawej (w przykładzie powyżej poprawnym wynikiem jest 1/6), zaś potęgowań od prawej do lewej.

Jeśli chodzi o funkcje (np. logarytm, sinus), nie ustalono podobnie ścisłych i prostych reguł kolejności wykonywania. Dla uniknięcia nieporozumień trzeba używać nawiasów. Istnieją jednak pewne tradycje, na przykład w wyrażeniu $\sin 2x$ najpierw wykonuje się mnożenie, potem sinus; natomiast w wyrażeniu $\sin x \sin y$ najpierw wykonuje się obydwa sinusy, a następnie mnożenie.

Zobacz też

• Operator (programowanie)

Bibliografia

• Zbigniew Semadeni: O kolejności wykonywania działań równorzędnych. W: Nauczanie matematyki [on-line]. 6/2007. [dostęp 25 czerwca 2008].