Kompleks łańcuchowy

Kompleks łańcuchowy - to pojęcie występujące w matematyce w algebrze homologicznej i topologii algebraicznej.

Definicja

Kompleksem łańcuchowym $(A_\bullet, \partial_\bullet)$ nazywamy ciąg grup abelowych (lub ogólniej, modułów) $\cdots, A_2, A_1, A_0, A_{-1}, A_{-2}, \cdots$ połączony morfizmami $\partial_n \colon A_n \to A_{n-1}$ zwanymi operatorami brzegu, spełniającymi dla każdego n tożsamość $\partial_{n-1} \partial_n = 0$ (lub, równoważnie, $\mathrm{im} \partial_n \subset \mathrm{ker} \partial_{n-1}$)

Zapisuje się je zwykle jako:

$\cdots \to A_{n+1} \xrightarrow{\partial_{n+1}} A_n \xrightarrow{\partial_n} A_{n-1} \xrightarrow{\partial_{n-1}} A_{n-2} \to \cdots \xrightarrow{\partial_2} A_1 \xrightarrow{\partial_1} A_0 \xrightarrow{\partial_0} A_{-1} \xrightarrow{\partial_{-1}} A_{-2} \xrightarrow{\partial_{-2}} \cdots$

Gdy nie prowadzi to do nieporozumień, często opuszcza się indeksy i zamiast $\partial_n x\;$ zapisuje się $\partial x\;$.

Przykłady

• Dla rodziny kompleksów łańcuchowych $\{K^{\lambda}\}_{\lambda \in \Lambda}$ ich sumą prostą $\bigoplus\limits_{\lambda \in \Lambda} K^{\lambda}$ jest kompleks, w którym:

$\big(\bigoplus\limits_{\lambda \in \Lambda} K^{\lambda}\big)_n = \bigoplus\limits_{\lambda \in \Lambda} K^{\lambda}_n$,

$\partial \{c^{\lambda}\} = \{\partial c^{\lambda}\}$

Homologie

Kompleksy łańcuchowe służą zwykle zdefiniowaniu homologii. Dla kompleksu $(A_\bullet, \partial_\bullet)$ i każdego $n$ określamy grupy

$Z_n(A) = \mathrm{ker} \partial_n \quad B_n(A) = \mathrm{im} \partial_{n+1}$

które nazywamy, odpowiednio, grupami n-wymiarowych cykli i brzegów kompleksu $(A_\bullet, \partial_\bullet)$. Z definicji kompleksu mamy $B_n(A) \subset Z_n(A)$, dzięki czemu możemy określić n-tą grupę homologii kompleksu $(A_\bullet, \partial_\bullet)$ jako:

$H_n(A) = Z_n(A)/B_n(A)\;$.

Elementy tej grupy nazywamy n-wymiarowymi klasami homologicznymi. Klasy homologiczne to klasy równoważności cykli, przy czym dwa cykle $z_n, z'_n \in Z_n(A)$ są równoważne (inaczej homologiczne), jeśli ich różnica jest brzegiem $z_n - z'_n \in B_n(A)$. Homologiczną klasę cyklu $z\;$ oznaczamy przez $[z]\;$.

Przekształcenia łańcuchowe

Przekształceniem łańcuchowym $f_\bullet$ między kompleksami $(A_\bullet, \partial_\bullet)$ a $(B_\bullet, \partial'_\bullet)$ nazywamy ciąg morfizmów $f_n\colon A_n \to B_n$ komutujących z operatorami brzegu, tj. spełniających dla każdego $n$ zależność

$\partial'_n f_n = f_{n-1} \partial_n$

Z tej własności wynika, że przekształcenia łańcuchowe przeprowadzają cykle na cykle i brzegi na brzegi, zatem indukują homomorfizmy na poziomie grup homologii: $H_n f \colon H_n(A) \to H_n(B)$.

Złożenie dwóch przekształceń łańcuchowych $f_\bullet: A_\bullet \rightarrow B_\bullet$ i $g_\bullet: B_\bullet \rightarrow C_\bullet$ zdefiniowane jako $(gf)_n = g_n f_n\;$ jest również przekształceniem łańcuchowym $(gf)_\bullet: A_\bullet \rightarrow C_\bullet$. Dlatego kompleksy i odwzorowania łańcuchowe tworzą kategorię oznaczaną $\partial \mathcal{AG}$.

Homologie definiują funktor

$H: \partial\mathcal{AG} \rightarrow \mathcal{AG}$,

bo $H_n (ff') = H_n (f)H_n (f')\;$ i $H_n (id_K) = id_{H_n K}\;$.

Gdy nie prowadzi to do nieporozumień, często opuszcza się indeksy i zamiast $f_n x\;$ zapisuje się $fx\;$, a funktor $H_n f\;$ - jako $f_{*}\;$ (związki funktorialności zapisuje się wtedy w postaci $(ff')_{*} = f_{*}f'_{*}\;$ i $id_{*} = id\;$).

Przykłady

• Stożkiem przekształcenia łańcuchowego $f_\bullet: K_\bullet \rightarrow L_\bullet$ nazywamy kompleks łańcuchowy $Cf_\bullet$, w którym:

$(Cf)_n = L_n \oplus K_{n - 1}$

$\partial^{Cf}(y, x) = (\partial^{L}y + fx, -\partial^{K}x)$, gdzie $(y, x) \in Cf$

Konstrukcji tej odpowiada następująca konstrukcja geometryczna:

w iloczynie wielościanu $K\;$ przez odcinek jednostkowy $K \times I$, gdzie $I = \langle 0; 1 \rangle\;$ ściągamy do punktu podstawę iloczynu $K \times \{0\}$, a drugą podstawę $K \times \{1\}$ doklejamy do wielościanu $L\;$ za pomocą przekształcenia $f: K \rightarrow L\,$, co sprowadza się do podzielenia sumy rozłącznej wielościanów $(X \times I) \sqcup Y$ przez relacje $(x,0) \sim (x', 0)\,$ i $(x,1) \sim f(x)\,$ dla dowolnych $x, x' \in X\;$.

• Stożek przekształcenia łańcuchowego identycznościowego $id_\bullet: K_\bullet \rightarrow K_\bullet$ nazywa się stożkiem nad kompleksem $K_\bullet\;$ i oznacza się go $CK_\bullet\;$.

Zawieszenie okręgu (niebieski). Ściagnięte do punktu podstawy iloczynu są zielone.

• Jeśli $L_\bullet = 0$, to kompleks $Cf_\bullet\;$ jest nazywany zawieszeniem i oznaczany przez $K^{+}_\bullet$. W kompleksie tym:

$(K^{+})_n = K_{n - 1}\;$

$\partial^{K^{+}} = - \partial^K$

Geometrycznie zawieszenie jest wielościanem, który można uzyskać z iloczynu $K \times I$ poprzez ściągnięcie do punktu każdej z podstaw: $(x,0) \sim (x', 0)\,$ i $(x,1) \sim (x', 1)\,$ dla dowolnych $x, x' \in X\;$.

Homotopie łańcuchowe

Mając dane dwa przekształcenia łańcuchowe $f = (f_n)_{n \in \mathbb{N}}, g = (g_n)_{n \in \mathbb{N}}$ między kompleksami $(A_\bullet, \partial_\bullet)$ a $(B_\bullet, \partial'_\bullet)$, powiemy, że ciąg morfizmów $P_n\colon A_n \to B_{n+1}$ jest homotopią łańcuchową między $f$ i $g$, jeżeli spełniona jest zależność

$\partial'_{n+1} P_n + P_{n-1} \partial_n = f_n - g_n$.

Homotopijne łańcuchowo przekształcenia łańcuchowe indukują ten sam morfizm na homologiach - istotnie, jeżeli $\alpha \in A_n$ jest cyklem, to mamy:

$f_n(\alpha) - g_n(\alpha) = \partial'_{n+1} P_n(\alpha) + P_{n-1} \partial_n(\alpha) = \partial'_{n+1} P_n(\alpha)$

gdyż $P_{n-1} \partial_n(\alpha) = P_{n-1}(0) = 0$, bo $\alpha$ jest cyklem. Stąd $f_n(\alpha) - g_n(\alpha)\;$ jest brzegiem, zatem po przejściu do grup homologii ta różnica jest zerem.

Ciągi dokładne kompleksów łańcuchowych

Krótkim ciągiem dokładnym kompleksów łańcuchowych $A_\bullet, B_\bullet, C_\bullet$ nazwiemy przekształcenia łańcuchowe $f_\bullet = (f_n)_{n \in \mathbb{N}}, g_\bullet = (g_n)_{n \in \mathbb{N}}$, takie, że dla każdego $n$, następujący ciąg jest dokładny:

$0 \rightarrow A_n \xrightarrow{f_n} B_n \xrightarrow{g_n} C_n \rightarrow 0$

Znanym faktem z algebry homologicznej jest to, że każdy krótki ciąg dokładny kompleksów łańcuchowych można "wyprostować" do długiego ciągu dokładnego grup homologii:

$\cdots \rightarrow H_{n+1}(C) \xrightarrow{\partial'_{n+1}} H_n(A) \xrightarrow{f_n} H_n(B) \xrightarrow{g_n} H_n(C) \xrightarrow{\partial'_n} H_{n-1}(A) \rightarrow \cdots$

gdzie $\partial'_\bullet$ są naturalne. Istnienie przekształceń $\partial'_\bullet$ można wykazać, stosując np. lemat o wężu do odpowiedniego diagramu.

Przykłady kompleksów łańcuchowych

W topologii algebraicznej występuje szereg kompleksów łańcuchowych.

Singularny kompleks łańcuchowy

Mając dowolną przestrzeń topologiczną $X$ możemy zbudować kompleks łańcuchowych w następujący sposób:

Niech $C_n(X)$ będzie wolną grupą abelową, której zbiorem generatorów jest zbiór wszystkich ciągłych przekształceń $\sigma\colon \Delta^n \to X$ z n-sympleksu w $X$. Określmy operator brzegu przez

$\partial_n(\sigma) = \sum_{i=0}^n (-1)^i \sigma | [v_0, v_1, \ldots, \hat{v_i}, \ldots, v_n]$

gdzie $[v_0, v_1, \ldots, v_n]$ oznacza sympleks rozpięty na wierzchołkach $v_0, v_1, \ldots, v_n$, a $\hat{v_i}$ oznacza, że ten wierzchołek opuszczamy.

Proste przekształcenia pozwalają stwierdzić, że istotnie $\partial_{n-1} \partial_n = 0$, co dowodzi, że $(C(X), \partial)$ jest kompleksem łańcuchowym. Pozwala nam rozpatrywać homologie $H_n(X)\;$ tego kompleksu, zwane grupami homologii singularnych przestrzeni $X\;$.

Kompleksy kołańcuchowe

Jak wiele innych konstrukcji w algebrze, tak również kompleksy łańcuchowe poddają się procesowi dualizacji. Mówimy wtedy o kompleksach kołańcuchowych. Formalna definicja jest niemal identyczna jak w przypadku kompleksów łańcuchowych, z tą tylko różnicą, że operatory brzegu $\partial_n\colon A_n \to A_{n+1}$ podnoszą, zamiast obniżać, stopień. Również w tym wypadku, dwukrotne zastosowanie operatora brzegu ma dawać zero. Kompleks kołańcuchowy wygląda następująco:

$\cdots \to A_{n+1} \xleftarrow{\partial_{n}} A_n \xleftarrow{\partial_{n-1}} A_{n-1} \xleftarrow{\partial_{n-2}} A_{n-2} \to \cdots \xleftarrow{\partial_1} A_1 \xleftarrow{\partial_0} A_0 \xleftarrow{\partial_{-1}} A_{-1} \xleftarrow{\partial_{-2}} A_{-2} \xleftarrow{\partial_{-3}} \cdots$

Podobnie definiujemy wówczas grupy kohomologii, przekształcenia kołańcuchowe itd.

Bibliografia

1. Stanisław Balcerzyk: Wstęp do algebry homologicznej. Warszawa: PWN, 1972. 
2. Albrecht Dold: Lectures on algebraic topology. Berlin Heidelberg New York: Springer Verlag, 1972, seria: Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaft. 
3. Marvin Greenberg: Wykłady z topologii algebraicznej. Warszawa: PWN, 1980. ISBN 83-01-00415-0.