Kompleks de Rhama

Kompleksem de Rhama w przestrzeni $\mathbb{R}^n$ nazywamy kompleks kołańcuchowy

$\Omega^{0}(\mathbb{R}^n) \xrightarrow{d} \Omega^{1}(\mathbb{R}^n) \xrightarrow{d} \cdots \xrightarrow{d} \Omega^{n}(\mathbb{R}^n)$

gdzie

• $\Omega^{q}(\mathbb{R}^n)$ jest $\mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R}^n)$-modułem q-form różniczkowych dla każdego $q \in \{1, 2, \cdots, n \}$,
• $d\;$ jest operatorem różniczkowania form różniczkowych.

Elementy jądra operatora $d\;$ nazywamy formami zamkniętymi, a elementy obrazu nazywamy formami dokładnymi. Kompleks de Rhama umożliwia rozwiązywanie układów równań różniczkowych w zbiorze form zamkniętych. Na przykład, aby znaleźć w $\mathbb{R}^2$ zamknięte formy postaci

$f dx + g dy\;$,

należy rozwiązać równanie różniczkowe

$\frac{\partial f}{\partial x}\, - \, \frac{\partial f}{\partial y} = 0$.

Formami dokładnymi kompleksu de Rhama są znane z analizy: gradient, dywergencja i rotacja.

Za pomocą operatora różniczkowania form można sformułować twierdzenie Stokesa:

$\int\limits_{\partial D} \omega = \int\limits_D d\;\omega$,

gdzie $D\;$ jest obszarem w $\mathbb{R}^n$, a $\partial D$ - jego brzegiem. Wynika stąd, że całka z formy zamkniętej na brzegu dowolnego obszaru jest równa zero.

W podobny sposób, jak w $\mathbb{R}^n$, można zdefiniować kompleks de Rhama dla dowolnej rozmaitości różniczkowalnej. Zamiast przestrzeni $\mathbb{R}^n$ można rozważać przestrzeń $\mathbb{C}^n$ nad ciałem liczb zespolonych $\mathbb{C}$.

Uściślenie definicji

Algebra form różniczkowych

Niech $x_1,\cdots, x_n$ będą współrzędnymi w $\mathbb{R}^n$. Niech $\Omega^{*}\;$ będzie algebrą nad ciałem $\mathbb{R}$ generowaną symbolami $dx_1,\cdots, dx_n$ i o działaniu $\wedge\;$, dla których spełnione są dwie zależności:

• $dx_i \wedge dx_i = (dx_i)^2 = 0\;$
• $dx_i \wedge dx_j = -dx_j \wedge dx_i, i \neq j$

Jako przestrzeń wektorowa nad ciałem $\mathbb{R}$ algebra $\Omega^{*}\;$ ma bazę:

$1\;$,

$dx_i\;$,

$dx_i \wedge dx_j\;$ dla $i < j\;$,

$dx_i \wedge dx_j \wedge dx_k\;$ dla $i < j < k\;$,

...,

$dx_1 \wedge \cdots \wedge dx_n\;$

Algebrą $\Omega^{*}(\mathbb{R}^n)\;$ jest algebra

$\Omega^{*}(\mathbb{R}^n) = \mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R}^n) \otimes_{\mathbb{R}} \Omega^{*}$, gdzie $\mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R}^n)$ jest algebrą funkcji gładkich na $\mathbb{R}^n$.

Elementy algebry $\Omega^{*}(\mathbb{R}^n)\;$ nazywamy formami różniczkowalnymi na $\mathbb{R}^n$.

Jeżeli $\omega \in \Omega^{*}(\mathbb{R}^n)\;$, to formę $\omega\;$ można przedstawić jednoznacznie w postaci:

$\omega = \sum f_{i_1 \cdots i_q}dx_{i_1} \wedge \cdots \wedge dx_{i_q} = \sum f_I dx_I$, gdzie $1 \leqslant i_1 < i_2 < \cdots < i_q \leqslant n$, a $f_{i_1 \cdots i_q} \in \mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R}^n)$.

Jeśli dla każdego składnika sumy $\omega = \sum f_{i_1 \cdots i_q}dx_{i_1} \wedge \cdots \wedge dx_{i_q}$ liczba q jest stała, to formę $\omega\;$ nazywa się gładką q-formą i zapisuje się ten fakt następująco:

$\omega \in \Omega^{q}(\mathbb{R}^n)$,

gdzie $\Omega^{q}(\mathbb{R}^n)$ jest modułem nad pierścieniem $\mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R}^n)$. Można to także zapisać $\;deg(\omega) = q$.

W module $\Omega^{*}(\mathbb{R}^n)$ określona jest gradacja

$\Omega^{*}(\mathbb{R}^n) = \bigoplus {_{q\; =\; 0}^n} \Omega^{q}(\mathbb{R}^n)$.

Operator d różniczkowania form różniczkowych

Operator różniczkowania form różniczkowych

$d: \Omega^{q}(\mathbb{R}^n) \rightarrow \Omega^{q + 1}(\mathbb{R}^n)$

jest określony w następujący sposób:

1. Jeśli $f \in \Omega^{0}(\mathbb{R}^n)$, to $df = \sum {\partial f \over \partial x_i} dx_i$.
2. Jeśli $\omega = \sum f_I dx_I$, to $d \omega = df_I \wedge dx_I$.

Elementy jądra operatora różniczkowania są nazywane formami zamkniętymi, a elementy jego obrazu - formami dokładnymi. Każda forma dokładna jest zamknięta. Wynika to z równości $d^2 \omega = 0\;$.

Własności operatora d

• Jeśli $\omega \in \Omega^{p}(\mathbb{R}^n), \tau \in \Omega^{q}(\mathbb{R}^n)$, to

$d(\omega \wedge \tau) = (d \omega) \wedge \tau + (- 1)^{deg\, \omega}\omega \wedge \tau$.

• $d^2 = 0\;$; dowodzi się tej równości w dwóch etapach

dla funkcji $d^2 f = d (\sum_i \frac{\partial f}{\partial x_i}\,dx_i) = \sum_{i, j} \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}$, gdzie współczynniki ${\partial^2 f} \over {\partial x_i \partial x_j}$ są symetryczne, a iloczyny $dx_i \wedge dx_j$ są antysymetryczne, bo $dx_i \wedge dx_j = - dx_j \wedge dx_i$, skąd $d^2 f = 0\;$

dla form $\omega = f_I dx_I\;$ mamy $d^2 \omega = d (df_I \wedge dx_I) = d^2 f_I \wedge dx_I = 0$.

Przykłady

• Jeśli $\omega = x dy\;$, to $d \omega = dx \wedge dy$
• Dla przypadku przestrzeni $\mathbb{R}^3$ moduły $\Omega^0(\mathbb{R}^3)$ i $\Omega^3(\mathbb{R}^3)$ są jednowymiarowe. Dlatego możliwe są następujące utożsamienia:

$\mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R}^3) \simeq \Omega^0(\mathbb{R}^3) \simeq \Omega^3(\mathbb{R}^3)$,

a konkretnie

$f \longleftrightarrow f \longleftrightarrow f dx \wedge dy \wedge dz$

• Dla przypadku przestrzeni $\mathbb{R}^3$ moduły $\Omega^1(\mathbb{R}^3)$ i $\Omega^2(\mathbb{R}^3)$ są trójwymiarowe. Dlatego możliwe jest utożsamienie gładkich pól wektorowych, 1-form i 2-form:

$\mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R}^3) \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{R}^3 \simeq \Omega^1(\mathbb{R}^3) \simeq \Omega^2(\mathbb{R}^3)$,

a konkretnie

$X = (f_1, f_2, f_3) \longleftrightarrow f_1 dx + f_2 dy + f_3 dz \longleftrightarrow f_1 dx \wedge dy - f_2 dx \wedge dz + f_3 dy \wedge dz$

• W przestrzeni trójwymiarowej $\mathbb{R}^3$:

Dla funkcji f forma $df = \frac{\partial f}{\partial x}\,dx + \frac{\partial f}{\partial y}\,dy + \frac{\partial f}{\partial z}\,dz$ jest gradientem.

Dla 1-formy $\omega = f_1 dx + f_2 dy + f_3 dz\;$ forma $d\omega = (\frac{\partial f_3}{\partial y} - \frac{\partial f_2}{\partial z})\,dy \wedge dz + (\frac{\partial f_1}{\partial z} - \frac{\partial f_3}{\partial x})\,dx \wedge dz + (\frac{\partial f_2}{\partial x} - \frac{\partial f_1}{\partial y})\,dx \wedge dy$ jest rotacją.

Dla 2-formy $\omega = f_1 dy \wedge dz - f_2 dx \wedge dz + f_3 dx \wedge dy$ forma $d\omega = (\frac{\partial f_1}{\partial x} + \frac{\partial f_2}{\partial y} + \frac{\partial f_3}{\partial z})\,dx \wedge dy \wedge dz$ jest dywergencją.

Bibliografia

• Raoul Bott, Loring W. Tu: Differential Forms in Algebraic Topology. Springer Verlag, 1982. 
• G. de Rham: Variétés differentiables. Hermann, 1956.