Konwencja sumacyjna Einsteina

Konwencja sumacyjna Einsteina – to skrótowy sposób zapisu równań zawierających kilka znaków sumy. Stosuje się go w celu zwiększenia przejrzystości zapisu równań.

Zasady konwencji

Jeżeli mamy sumowanie po jakimś indeksie, indeks przebiega wszystkie swoje dozwolone wartości i występuje w sumowaniu dwa razy: raz jako wskaźnik górny a raz dolny, to znak sumowania pomijamy.

Indeks (wskaźnik) sumacyjny nazywamy w takim wypadku wskaźnikiem niemym.

Przykłady

W poniższych przykładach wszystkie wskaźniki mogą przyjmować wartości 0-3.

• $\sum_{j=0}^{3} g_{ij}A^{j} = g_{ij}A^{j}$ – indeksem sumacyjnym (niemym) jest $j$
• $\sum_{\nu=0}^{3} \sum_{\lambda=0}^{3} \sum_{\delta=0}^{3} \Gamma ^{\mu\ \lambda} _{\ \nu\ \delta} b^{\nu} c_{\lambda} d^{\delta} = \Gamma ^{\mu\ \lambda} _{\ \nu\ \delta} b^{\nu} c_{\lambda} d^{\delta}$ – indeksy nieme to $\nu$, $\lambda$ i $\delta$; normalnym wskaźnikiem jest $\mu$

Uzasadnienie

Sytuacja, kiedy mamy dodawanie w takiej postaci, jak w konwencji sumacyjnej, jest bardzo częsta w algebrze liniowej. Można powiedzieć, że operacja pomnożenia odpowiednich składowych jakichś dwóch obiektów i wysumowania ich po tej składowej jest bardzo podstawowym działaniem i może być traktowana na równi z mnożeniem. Rozsądne byłoby zatem skrócenie zapisu tak podstawowej operacji. Działanie takie (mnożenie składowych i sumowanie po tej składowej) nazywa się czasem kontrakcją (skracaniem). Kontrakcji można się doszukać w wielu innych działaniach:

• Mnożenie macierzy

$\bold{A \cdot B} = \sum_{j} A^{i}_{j} B^{j}_{k} = A^{i}_{j} B^{j}_{k}$

• Iloczyn skalarny wektorów

$\bold{a \cdot b} = \sum_{i} \sum_{j} \delta_{ij} a^{i} b^{j} = \delta_{ij} a^{i} b^{j}$

• Mnożenie wektora przez macierz

$\bold{A \cdot b} = \sum_{j} A^{i}_{j} b^{j} = A^{i}_{j} b^{j}$

• Dywergencja pola wektorowego

$\operatorname{div} \bold{a} = \sum_{i} \partial_{i} a^{i} = \partial_{i} a^{i}$

Praktyka pokazuje, że można się bardzo szybko przyzwyczaić do konwencji sumacyjnej. Osoby znające konwencję sumacyjną często wręcz nie rozumieją wzorów, gdzie występują wskaźniki dolne i górne, a konwencja nie obowiązuje.

Zobacz też

• Konwencje w teoriach relatywistycznych