Konwencje w teoriach relatywistycznych

W teoriach relatywistycznych (szczególnej teorii względności, ogólnej teorii względności, elektrodynamice, relatywistycznej mechanice kwantowej) stosuje się specjalne konwencje związane z indeksami występującymi we wzorach.

Konwencja sumacyjna

Skrócony zapis dodawania, gdzie w pewnej sytuacji pomijamy znak dodawania $\sum$.

Numery wymiarów

Wymiarowi czasowemu najczęściej przypisuje się liczbę 0 (czyli jest to zerowy a nie czwarty wymiar) a wymiarom przestrzennym - wartości 1,2,3. Czasem rozważa się także przestrzenie o większej ilości wymiarów; używamy wówczas liczb od 4 wzwyż na ich oznaczenie.

Indeksy greckie

Indeksy oznaczane literami alfabetu greckiego (μ ν, τ itp.) przebiegają wszystkie możliwe indeksy wymiarów, czyli najczęściej {0,1,2,3}. Czasem, gdy rozważamy przestrzenie więcej-wymiarowe, wskaźniki te przebiegają dodatkowe wartości.

$p_{\mu}, x_{\nu}$ - składowe kowariantne czterowektorów pędu i położenia

$g^{\mu \nu}$ - składowe kontrawariantne tensora metrycznego

Indeksy łacińskie

Indeksy oznaczane literami alfabetu łacińskiego (i, j, k, itp.) przebiegają zbiór wartości {1,2,3}. Obiekty indeksowane w ten sposób są obiektami trójwymiarowymi. Przykład:

$p_{i}, x_{i}$ - przestrzenne składowe pędu i położenia

$T_{ij}$ - przestrzenna część tensora napięć-energii, czyli tensor napięć

Tensor metryczny

Tensor metryczny danej przestrzeni przyjęło oznaczać się literą g.

Podnoszenie/opuszczanie wskaźników

Uznaje się, że wielkości oznaczane tym samym symbolem ze wskaźnikami u góry i u dołu powiązane są wzorami:

$V_{\mu} = g_{\mu \nu} V^{\nu}$

$V^{\mu} = g^{\mu \nu} V_{\nu}$

Czyli mnożymy odpowiednie wielkości przez tensor metryczny. Z oczywistych względów nie można zastosować takiej konwencji do samego tensora metrycznego. Zamiast tego, składowe tensora metrycznego wiąże wzór:

$g^{\mu \nu} = (g_{\mu \nu})^{-1}$

Gdzie symbol $\cdot^{-1}$ oznacza branie macierzy odwrotnej.

Pochodna cząstkowa i kowariantna

W wielu teoriach operacja pochodnej cząstkowej nie daje w wyniku tensora. Zamiast tego, trzeba na bazie pochodnej cząstkowej zdefiniować nową pochodną kowariantną. Stosuje się wtedy najczęściej następujące oznaczenia:

w teorii względności:

pochodna cząstkowa - przecinek: $V_{,\mu}$

pochodna kowariantna - średnik: $V_{;\mu}$

W przypadku wyższych pochodnych przecinka lub średnika nie powtarza się, dlatego zamiast pisać: $V_{,\mu,\nu}$ pisze się po prostu: $V_{,\mu \nu}$

w mechanice kwantowej:

pochodna cząstkowa - stylizowana delta: $\partial_{\mu} V$

pochodna kowariantna - duża litera D: $\operatorname{D}_{\mu} V$

w mechanice klasycznej:

pochodna cząstkowa - przecinek: $V_{,\mu}$

pochodna kowariantna - nabla: $\operatorname{\nabla}_{\mu} V$