Twierdzenie o izomorfizmie

Twierdzenie o izomorfizmie – jedno z trzech (najczęściej) twierdzeń matematycznych szeroko stosowanych w algebrze uniwersalnej mówiących o istnieniu pewnych naturalnych izomorfizmów.

Historia

Twierdzenia o izomorfizmie zostały sformułowane w pewnej ogólności dla homomorfizmów modułów przez Emmy Noether w jej dziele Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern opublikowanej w 1927 w Mathematische Annalen. Mniej ogólne wersje tych twierdzeń mogą być znalezione w pracach Richarda Dedekinda i wcześniejszych dziełach Noether.

Trzy lata później B.L. van der Waerden wydał swoją doniosłą Algebrę, pierwszy podręcznik algebry abstrakcyjnej, który podjął, teraz tradycyjne, podejście do przedmiotu: grupy-pierścienie-ciała. Van der Waerden wskazał jako swoje główne źródła wykłady z teorii grup u Noether i algebry u Emila Artina oraz seminarium prowadzone przez Artina, Wilhelma Blaschke, Ottona Shreiera i samego van der Waerdena dotyczące ideałów. Pojawiają się w nim trzy twierdzenia o izomorfizmie nazywane twierdzeniem o homomorfizmie oraz, w odniesieniu do grup, dwoma prawami izomorfizmów.

Grupy

Twierdzenia o izomorfizmie zostaną najpierw wyrażone dla grup, gdzie przyjmują prostszą postać i wyrażają ważne własności grup ilorazowych. Wszystkie trzy dotyczą „dzielenia” przez podgrupę normalną.

Pierwsze twierdzenie

Jeżeli $G,\ H$ są grupami, a

$f\colon G \to H$

jest homomorfizmem to

• jądro $K$ homomorfizmu $f$ jest podgrupą normalną $G,$
• obraz $f$ jest podgrupą $H,$ a
• grupa ilorazowa $G/K,$ nazywana czasem koobrazem, jest izomorficzna z obrazem $f.$

Jeżeli ciąg rozszczepia się, to $G$ jest w rzeczywistości iloczynem półprostym. W kategorii abelowej lemat o rozszczepianiu uściśla ten fakt do rozkładu $G$ na sumę prostą.

Drugie twierdzenie (znane też jako trzecie)

Niech

$H, K$ będą podgrupami $G$ i

$H$ będzie podgrupą normalną $G.$

Wówczas

Iloczyn $HK$ grup $H$ oraz $K$ jest podgrupą w $G,$

$H \cap K$ jest podgrupą normalną w $K,$ a

$HK/H$ jest izomorficzna z $K/(H \cap K).$

Trzecie twierdzenie (znane też jako drugie)

Jeżeli

$M, N$ są podgrupami normalnymi w $G,$

takimi, że $M$ zawiera się w $N,$

to

$M$ jest podgrupą normalną w $N,$

$N/M$ jest podgrupą normalną w $G/M,$ a

$(G/M)/(N/M)$ jest izomorficzna z $G/N.$

Wynik ten uogólnia się przez lemat dziewiątkowy na kategorie abelowe i bardziej ogólne odwzorowania między obiektami.

Pierścienie i moduły

Twierdzenie o izomorfizmie zachodzą również dla modułów nad ustalonym pierścieniem $R$ (a więc również i na przestrzenie liniowe nad ustalonym ciałem). Należy jedynie zamienić pojęcia „grupa” na „$R$-moduł”, „podgrupa” i „podgrupa normalna” na „podmoduł”, a „grupa ilorazowa” na „moduł ilorazowy”.

W przypadku przestrzeni liniowych pierwsze twierdzenie o izomorfizmie nosi nazwę twierdzenia o rzędzie.

Twierdzenia o izomorfizmie zachodzą także dla pierścieni, homomorfizmów pierścieni i ideałów. W tym przypadku należy zamienić pojęcia „grupa” na „pierścień”, „podgrupa” na „podpierścień” i „podgrupa normalna” na „ideał”, a „grupa ilorazowa” na „pierścień ilorazowy”.

We wspomnianych dwóch przypadkach notacja supremum to „$H + K$”, nie zaś „$HK$”.

Ogólnie

Aby uogólnić ten wynik na algebrę uniwersalną, podgrupy normalne muszą być zastąpione kongruencjami.

Krótko, jeżeli $A$ jest algebrą uniwersalną, to kongruencją na $A$ jest relacja równoważności $\Phi$ określona na $A,$ która jest podalgebrą, gdy jest ona rozpatrywana jako podzbiór $A \times A$ (z działaniami określonymi po współrzędnych). Zbiór klas równoważności $A/\Phi$ może być przekształcony w algebrę tego samego typu poprzez zdefiniowanie działań na reprezentantach; będą one dobrze określone, ponieważ $\Phi$ jest podalgebrą $A \times A.$

Pierwsze twierdzenie

Jeżeli $A, B$ są algebrami, a $f$ homomorfizmem z $A$ do $B,$ to relacja równoważności $\Phi$ określona na $A$ wzorem

$a \sim b \iff f(a) = f(b)$ jest kongruencją na $A,$ zaś algebra $A/\Phi$ jest izomorficzna z obrazem $f,$ czyli podalgebrą w $B.$

Drugie twierdzenie

Dla danej algebry $A$ i jej podalgebry $B$ oraz kongruencji określonej na $A,$ niech $[B]\Phi$ będzie podzbiorem $A/\Phi$ wyznaczanym przez wszystkie klasy kongruencji zawierające element z $B.$ Symbol $\Phi_B$ będzie oznaczał przecięcie $\Phi$ (rozpatrywane jako podzbiór $A \times A$) z $B \times B.$ Wówczas $[B]\Phi$ jest podalgebrą $A/\Phi,$ a $\Phi_B$ jest kongruencją na $B$ i wreszcie algebra $[B]\Phi$ jest izomorficzna z algebrą $B/\Phi_B.$

Trzecie twierdzenie

Niech $A$ będzie algebrą, a $\Phi$ oraz $\Psi$ będą dwoma relacjami kongruencji określonymi na $A,$ gdzie $\Psi$ zawiera się w $\Phi.$ Wówczas $\Phi$ wyznacza kongruencję $\Theta$ na $A/\Psi$ określoną wzorem

$[a]_\Psi \sim [b]_\Psi \iff a \sim_\Phi b,$ a $A/\Phi$ jest izomorficzna z $(A/\Psi)/\Theta.$

Bibliografia

• Emmy Noether, Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern, Mathematische Annalen 96 (1927) p. 26-61
• Colin McLarty (pod redakcją Jeremy'ego Graya i José Ferreirósa), The Architecture of Modern Mathematics: Essays in history and philosophy - Emmy Noether’s ‘Set Theoretic’ Topology: From Dedekind to the rise of functors, Oxford University Press (2006) p. 211–35.

Zobacz też

• lemat Zassenhausa, czasami nazywane czwartym twierdzeniem o izomorfizmie,
• twierdzenie o kracie, czasami nazywane czwartym twierdzeniem o izomorfizmie,
• lemat o rozszczepianiu, który jest uściśleniem pierwszego twierdzenia dla ciągów rozszczepionych.

Linki zewnętrzne

• Pierwsze twierdzenie o izomorfizmie na PlanetMath (ang.). Dowód na PlanetMath (ang.).
• Drugie twierdzenie o izomorfizmie na PlanetMath (ang.). Dowód na PlanetMath (ang.).
• Trzecie twierdzenie o izomorfizmie na PlanetMath (ang.). Dowód na PlanetMath (ang.).