Kowariancja

Kowariancja, $\operatorname{cov}(X,Y)\$ – liczba określająca zależność liniową między zmiennymi losowymi X i Y.

Definicja

Matematycznie kowariancję definiuje się wzorem:

$\operatorname{cov}(X,Y) = \mathrm{E}[(X-\mathrm{E}X) \cdot (Y-\mathrm{E}Y)]\$.

Wygodniejszym, równoważnym wzorem jest:

$\operatorname{cov}(X,Y) = \mathrm{E}(X \cdot Y) - \mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}Y\$

gdzie: $\mathrm{E}\$ jest wartością oczekiwaną.

Interpretacja

Jeżeli między zmiennymi losowymi X i Y nie istnieje żadna zauważalna korelacja liniowa i istnieją ich wartości oczekiwane, to kowariancja przyjmuje wartość 0 (nie musi to być prawda dla kowariancji w próbie losowej z tych zmiennych).

Innymi słowy: zmienne losowe X i Y są niezależne, a więc

$\mathrm{E}(X \cdot Y)=\mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}Y,$

zatem:

$\operatorname{cov}(X,Y) = \mathrm{E}(X \cdot Y) - \mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}Y = \mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}Y - \mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}Y = 0\$

Wartości kowariancji zbliżone, czy nawet równe zero nie świadczą jednak o całkowitej niezależności zmiennych losowych. Zawsze istnieje bowiem możliwość, że są one zależne nieliniowo.

Na przykład, jeśli zmienna losowa Z ma rozkład jednostajny na przedziale [0,2π], a zmienne losowe byłyby zdefiniowane jako:

$X=\sin Z\;$

$Y=\cos Z\;$

to pomimo ich oczywistej zależności (jedynka trygonometryczna) mamy $\operatorname{cov}(X,Y)=0$.

Związek ze współczynnikiem korelacji liniowej

Kowariancja jest powiązana ze współczynnikiem korelacji Pearsona:

$\operatorname{cov}(X,Y)=\operatorname{corr}(X,Y)\sigma_X\sigma_Y$

gdzie:

• $\operatorname{corr}(X,Y)$ to współczynnik korelacji liniowej pomiędzy zmiennymi $X$ i $Y$
• $\sigma_X\;$ to odchylenie standardowe zmiennej $X\;$
• $\sigma_Y\;$ to odchylenie standardowe zmiennej $Y\;$

Zobacz też

• macierz kowariancji
• wariancja
• korelacja
• kowariancja i kontrawariancja