Kresy dolny i górny

Kres (kraniec) dolny (również łac. infimum) oraz kres (kraniec) górny (także łac. supremum) – w matematyce pojęcia oznaczające odpowiednio: największe z ograniczeń dolnych oraz najmniejsze z ograniczeń górnych danego zbioru, o ile takie istnieją.

Zbiory liczbowe

Najczęściej oba te terminy są używane w odniesieniu do zbiorów liczbowych.

Definicje

Przypuśćmy, że zbiór $A\subseteq \mathbb R$ jest niepusty.

Powiemy, że $s$ jest ograniczeniem górnym (dolnym) zbioru $A$, jeżeli $s \geqslant a\; (s \leqslant a)$ dla wszystkich elementów $a \in A$.

Kresem górnym zbioru $A$ nazwiemy taką liczbę $s \in \mathbb R$, która jest najmniejszym ograniczeniem górnym tego zbioru, tj. taką, że:

• $s$ jest ograniczeniem górnym zbioru $A$;
• jeśli $s' \in \mathbb R$ jest ograniczeniem górnym zbioru $A$, to $s \leqslant s'\;$.

Symetrycznie, kresem dolnym zbioru nazywamy największe ograniczenie dolne tego zbioru.

Kres górny zbioru $A$ oznaczamy $\sup(A)$, kres dolny $\inf(A)$. Zapisy $\inf(A) = -\infty$ oraz $\sup(A) = \infty$ oznaczają, iż $A$ jest nieograniczony odpowiednio z dołu lub z góry (zob. rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych).

Własności

• Każdy niepusty podzbiór $\mathbb R$ ograniczony z góry ma kres górny, a ograniczony z dołu ma kres dolny. Tą własność nazywa się zupełnością zbioru liczb rzeczywistych (zob. aksjomat ciągłości).
• Jeżeli w danym zbiorze istnieje liczba największa/najmniejsza, to jest ona jego kresem górnym/dolnym.
• Przypuśćmy że $A\subseteq \mathbb R$ jest niepustym zbiorem oraz $s \in \mathbb R$, wówczas

  $s = \sup(A)$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\forall_{a \in A}\; a \leqslant s$ oraz $\forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{a \in A}\; a > s - \varepsilon$;

  $s = \inf(A)$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\forall_{a \in A}\; a \geqslant s$ oraz $\forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{a \in A}\; a < s + \varepsilon$.

• Jeżeli $A \subseteq \mathbb R$ oraz oznaczymy $-A := \{x \in \mathbb R\colon -x \in A\}$, to:

  $\inf(-A) = -\sup(A)$,

  $\sup(-A) = -\inf(A)$.

Przykłady

• Jeśli $A=[0, 3]$, to:
  • $\inf(A)=0$ ponieważ 0 jest najmniejszą liczbą zbioru A, więc jest jego kresem dolnym.
  • $\sup(A)=3$ ponieważ 3 jest największą liczbą zbioru A, więc jest jego kresem górnym.
• Niech $B=(0, 3)$. Wówczas:
  • $\inf(B)=0$. Choć zbiór B nie ma liczby najmniejszej, jego kresem dolnym jest 0, bowiem żadna liczba większa od 0 nie jest mniejsza od dowolnej z liczb zbioru B.
  • $\sup(B)=3$. Mimo że w zbiorze B nie ma liczby największej, kresem górnym jest 3, ponieważ nie istnieje liczba mniejsza od 3, która byłaby większa od jakiejkolwiek liczby ze zbioru B.
• Niech $C=\{0, 1, 4\}$. Wówczas podobnie jak dla zbioru $A$, $\inf(C)=0$ oraz $\sup(C)=4$:
• Połóżmy $D=\{1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, \ldots\}$. Jest $\sup(D)=1$, bo każda liczba zbioru D jest mniejsza od 1, a jednocześnie żadna liczba mniejsza od 1 nie jest większa od wszystkich liczb ze zbioru D.

Porządki częściowe

Pojęcia kresu dolnego i kresu górnego są zdefiniowane tylko przy użyciu porządku i mogą być wprowadzone jako dużo ogólniejsze niż w sekcji powyżej.

Definicja

Niech $(X,\sqsubseteq)$ będzie zbiorem częściowo uporządkowanym. Przypuśćmy też, że $A\subseteq X$ i $s\in X$.

Element $s\,$ nazywamy elementem największym w zbiorze $A\,$ wtedy i tylko wtedy, gdy:

$s \in A \and \forall_{a \in A} \; a \sqsubseteq s$.

Element $s\,$ nazywamy elementem najmniejszym w zbiorze $A\,$ wtedy i tylko wtedy, gdy:

$s \in A \and \forall_{a \in A} \; s \sqsubseteq a$.

Element $s\,$ nazywamy ograniczeniem górnym zbioru $A\,$ wtedy i tylko wtedy, gdy:

$\forall_{a \in A} \; a \sqsubseteq s$.

Element $s\,$ nazywamy ograniczeniem dolnym zbioru $A\,$ wtedy i tylko wtedy, gdy:

$\forall_{a \in A} \; s \sqsubseteq a$.

Element $s\,$ jest kresem górnym (supremum) zbioru $A\,$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest elementem najmniejszym w zbiorze wszystkich ograniczeń górnych $A\,$.

Element $s\,$ jest kresem dolnym (infimum) zbioru $A\,$, wtedy i tylko wtedy, gdy jest elementem największym w zbiorze wszystkich ograniczeń dolnych $A\,$.

Każdy element zbioru X jest zarówno ograniczeniem dolnym jak i ograniczeniem górnym zbioru pustego. Zatem kres dolny zbioru pustego musi być największym elementem zbioru $X$, a kres górny zbioru pustego - najmniejszym elementem zbioru $X$.

Jeśli każdy niepusty ograniczony z góry podzbiór $X$ ma kres górny, to porządek $(X,\sqsubseteq)$ nazywa się zupełnym.

Własności i przykłady

• Kres górny zbioru nie musi istnieć. Na przykład, jeśli rozważymy zbiór liczb wymiernych ${\mathbb Q}$ z porządkiem naturalnym i zbiór $A=\{q\in {\mathbb Q}:q^2<2\}$, to nie ma żadnej liczby wymiernej która byłaby kresem dolnym, ani żadnej liczby wymiernej która byłaby kresem górnym. (Oczywiście ten sam zbiór ma kres dolny i kres górny w liczbach rzeczywistych.)
• Każdy podzbiór zbioru częściowo uporządkowanego może mieć co najwyżej jeden kres dolny i jeden kres górny. Dlatego też kres dolny i kres górny można oznaczać symbolami odpowiednio $\inf(A)$ i $\sup(A)$.
• Jeśli $(X,\sqsubseteq)$ jest porządkiem liniowym, to istnieje zupełny porządek liniowy $(Y,\leqslant)$ taki że $X\subseteq Y$ i obcięcie $\leqslant \upharpoonright X$ zgadza się z $\sqsubseteq$, oraz $X$ jest gęstym podzbiorem $Y$. Porządek $(Y,\leqslant)$ jest jedyny z dokładnością do izomorfizmu.
• Jeśli $(X,\sqsubseteq)$ jest zupełnym porządkiem liniowym (tzn każdy ograniczony niepusty podzbiór $X$ ma kres górny), to każdy ograniczony z dołu niepusty podzbiór $X$ ma kres dolny.
• Niech $({\mathbb B},+,\cdot,\sim,0,1)$ będzie algebrą Boole'a i niech $\leqslant$ będzie porządkiem boole'owskim na ${\mathbb B}$ (tzn. dla $a\leqslant b$ wtedy i tylko wtedy gdy $a\cdot b=a$).
  • Kres górny niepustego zbioru $A\subseteq {\mathbb B}$ (jeśli istnieje) jest oznaczany przez $\sum A$ i bywa nazywany sumą zbioru $A$. Algebry w których każdy zbiór ma kres górny (tzn takie dla których porządek boole'owski $\leqslant$ jest zupełny) są nazywane zupełnymi algebrami Boole'a. Algebry zupełne są szczególnie ważne w teorii forsingu.
  • Kres dolny niepustego zbioru $A\subseteq {\mathbb B}$ (jeśli istnieje) jest oznaczany przez $\prod A$ i bywa nazywany produktem (iloczynem) zbioru $A$. Następujące dwa stwierdzenia są równoważne dla algebry Boole'a ${\mathbb B}$:

    każdy niepusty podzbiór ${\mathbb B}$ ma kres górny (tzn sumę),

    każdy niepusty podzbiór ${\mathbb B}$ ma kres dolny (tzn produkt).

  • Warto też zauważyć że (zakładając istnienie odpowiednich kresów, np. zupełność algebry), jeśli $\varnothing \neq A \subseteq \mathbb B$, to

    $\sum A=\sim\prod\{\sim a\colon a\in A\}$ oraz $\prod A=\sim\sum\{\sim a\colon a\in A\}.$