Kryterium Sylvestera

Kryterium Sylvestera - kryterium pozwalające badać dodatnią (lub ujemną) określoność macierzy kwadratowej.

Kryterium Sylvestera

Macierz

$A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{bmatrix}$

o współczynnikach rzeczywistych jest dodatnio określona wtedy i tylko wtedy, gdy jest symetryczna oraz jej wiodące minory główne są dodatnie,, tj.

$a_{11}>0$

$\det\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1l}\\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2l}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{l1} & a_{l2} & \dots & a_{ll} \end{bmatrix}>0$ dla $l\in\{2,\ldots,n\}$.

Macierz $A$, taka jak wyżej, jest natomiast ujemnie określona wtedy i tylko wtedy, gdy jest symetryczna oraz

$a_{11}<0$

$\det\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1l}\\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2l}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{l1} & a_{l2} & \dots & a_{ll} \end{bmatrix}>0$ dla $l\in\{2,\ldots,n\}\cap 2\mathbb{N}$

$\det\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1l}\\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2l}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{l1} & a_{l2} & \dots & a_{ll} \end{bmatrix}<0$ dla $l\in\{2,\ldots,n\}\cap (2\mathbb{N}-1)$,

gdzie $2\mathbb{N}$ i $2\mathbb{N}-1$ oznaczają odpowiednio zbiór liczb parzystych i nieparzystych.

Reguła mnemotechniczna:

$A= \begin{bmatrix} + & & & \\ & + & & \\ & & + & \\ & & & \ddots \end{bmatrix} \Rightarrow A \text{ -- dodatnio okreslona},$

$A= \begin{bmatrix} - & & & \\ & + & & \\ & & - & \\ & & & \ddots \end{bmatrix} \Rightarrow A \text{ -- ujemnie okreslona},$

gdzie na przekątnej zaznaczono znaki minorów głównych (,,narożnikowych") $\det\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1l}\\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2l}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{l1} & a_{l2} & \dots & a_{ll} \end{bmatrix} ,\; l = 1,2,\ldots,n$.

Jeśli macierz $A$ można traktować jako macierz formy kwadratowej

$f(x)=\sum_{j,k=1}^na_{jk}x_jx_k,\; a_{jk}=a_{kj}$,

to forma ta jest dodatnio (ujemnie) określona wtedy i tylko wtedy gdy jej macierz jest dodatnio (ujemnie) określona.

Bibliografia

1. Andrzej Mostowski, Marceli Stark: Elementy algebry wyższej. Warszawa: PWN, 1975.