Krzywa

Krzywa – w matematyce jedno z fundamentalnych pojęć takich dziedzin jak geometria, czy geometria różniczkowa; stosowane również w mowie potocznej. Mimo intuicyjnej prostoty okazało się ono być bardzo trudne do ścisłego zdefiniowania. Poprawna definicja powinna obejmować „dowolną linię” (w szczególności na płaszczyźnie lub przestrzeni trójwymiarowej), w tym także linię prostą, która mogłaby się rozgałęziać i przerywać.

Definicje

Definicje historycznie odleglejsze

• Komentatorzy Euklidesa określali ją jako „długość bez szerokości” oraz „ograniczenie powierzchni”. Nie są to jednak definicje w sensie matematycznym.
• Kartezjusz definiował krzywą jako zbiór punktów spełniających pewne równanie. Definicja ta nie obejmuje jednak wszystkich przypadków.

• Kolejna definicja określała krzywą jako sumę skończonej liczby łuków, z których żadne dwa nie mają wspólnych punktów oprócz swych końców. Okazało się jednak, że definicja ta nie obejmuje niektórych przypadków, np.

$\left\{(x, y)\colon y = \sin \tfrac{2\pi}{x},\ 0 < x \leqslant 1\right\}$ z dołączonym odcinkiem $\left\{(x, y)\colon x = 0,\ -1 \leqslant y \leqslant 1\right\}$.

Definicje topologiczne

Szereg definicji topologicznych używa pojęcią continuum (kontinuum) czyli przestrzeni zwartej i spójnej.

• Camille Jordan w XIX wieku zdefiniował krzywą jako zbiór punktów płaszczyzny $\left(\varphi(t), \psi(t)\right)$, gdzie $\varphi$ i $\psi$ są funkcjami ciągłymi, zaś $t$ jest parametrem przebiegającym przedział liczb rzeczywistych. Innymi słowy krzywa to obraz przedziału (równoważnie: odcinka) w odwzorowaniu ciągłym. Okazało się wszakże, że definicja ta jest zbyt szeroka. W 1890 roku Giuseppe Peano pokazał, że obraz tak rozumianej krzywej może wypełniać kwadrat wraz z wnętrzem (tzw. krzywa Peano). Obecnie krzywą Jordana nazywa się homeomorficzny obraz okręgu.
• Pod koniec XIX wieku Georg Cantor podał następującą definicję: krzywa płaska to takie continuum na płaszczyźnie, które nie zawiera żadnego koła o dodatnim promieniu. W przypadku płaszczyzny jest ona równoważna przytoczonej niżej definicji podanej przez Urysohna.
• Krzywą nazywa się continuum o wymiarze 1. Innymi słowy jest to zbiór, w którym każdy jego punkt ma dowolnie małe otoczenia o zerowymiarowym brzegu. Jest to wtedy zbiór zwarty i spójny.
• Krzywą nazywamy continuum, w którym dla każdego jego punktu i dowolnego jego otoczenia istnieje pewne otoczenie wspomnianego punktu zawarte w poprzednim, którego brzeg nie zawiera żadnego continuum złożonego z więcej niż jednego punktu. Definicja ta, sformułowana przez rosyjskiego matematyka Pawła Urysohna, pochodzi z końca lat 20. XX wieku.
• Często przez krzywą rozumie się homeomorficzny obraz odcinka (domkniętego lub otwartego).

Definicje geometryczne

W przypadku geometrii różniczkowej definicje krzywej, jako obrazu odcinka otwartego przy odwzorowaniach różniczkowych, zakładają zawsze, że pierwsza pochodna jest różna od zera w każdym punkcie odcinka.

• Ważne klasy krzywych definiuje się nakładając dodatkowe warunki na funkcję $f: (a, b) \rightarrow \mathbb{R}^2$, odwzorowującą przedział w płaszczyznę, na przykład dla funkcji różniczkowalnych otrzymuje się łuk regularny, a dla przedziałami liniowych - linię łamaną.
• W geometrii różniczkowej płaszczyzny lub przestrzeni przez krzywą rozumie się na ogół odwzorowanie r razy różniczkowalne przedziału otwartego na płaszczyznę $f: (a, b) \rightarrow \mathbb{R}^2$ lub $f: (a, b) \rightarrow \mathbb{R}^3$, gdzie r-ta pochodna jest ciągła (tak zwane krzywe klasy $\mathcal{C}^r$). Często, aby uniknąć dyskusji o klasie gładkości zakłada się, że funkcje te mają wszystkie pochodne (tak zwane krzywe klasy $\mathcal{C}^\infty$; oczywiście wtedy wszystkie pochodne są ciągłe). Obrazy tych funkcji nie są wtedy zwarte. .

Zobacz też

• lista krzywych
• łamana
• krzywa stożkowa
• krzywizna krzywej
• krzywa regularna
• krzywa Béziera
• wzory Freneta
• droga
• kąt między dwiema krzywymi