Krzywa Lissajous

doświadczenie Lissajous z kamertonami

Krzywa Lissajous (wym. lisaʒu) bądź Bowditcha – w matematyce krzywa parametryczna opisująca drgania harmoniczne, dana wzorem

$x(t) = A\sin(at + \delta),\quad y(t) = B\sin(bt).$

Nazwy pochodzą od nazwisk Nathaniela Bowditcha, który opisał rodzinę tych krzywych w 1899, oraz Jules'a Antoine'a Lissajous, który badał je używając do tego drgających kamertonów z umocowanymi do nich zwierciadełkami. Krzywe te nazywane są też figurami Lissajous.

Rodzaje

Kształt krzywych jest szczególnie uzależniony od współczynnika $\tfrac{a}{b}$. Dla współczynnika równego 1, krzywa jest elipsą, ze specjalnymi przypadkami okrąg: $A = B, \delta = \tfrac{\pi}{2}$ (zob. pi i radian); oraz odcinek: $\delta = 0$. Inne wartości współczynnika dają bardziej złożone krzywe, które są zamknięte, tylko gdy $\tfrac{a}{b}$ jest liczbą wymierną.

Występowanie

Jedną z metod uzyskiwania krzywych Lissajous jest podanie na wejścia oscyloskopu, pracującego w trybie XY, dwóch sygnałów sinusoidalnych o częstotliwościach pozostających w stosunku $\tfrac{a}{b}$. Ciekawy efekt uzyskuje się również, gdy stosunek tych częstotliwości jest minimalnie różny od ilorazu dwóch niskich liczb naturalnych: dzięki płynnej zmianie fazy (parametru $\delta$) uzyskuje się iluzję trójwymiarowego obrotu krzywej. W najprostszym przypadku, gdy $a \approx b$ uzyskuje się efekt „obracającej monety”.

Krzywe Lissajous są czasem wykorzystywane w projektach graficznych jako element logo (np. w Australian Broadcasting Corporation).

Przykłady

Poniżej zamieszczono przykłady krzywych Lissajous o parametrach $\delta = \tfrac{\pi}{2}$, $a$ – nieparzyste, $b$ – parzyste, $|a - b| = 1$.

• 

  a = 1, b = 2

• 

  a = 3, b = 2

• 

  a = 3, b = 4

• 

  a = 5, b = 4

• 

  a = 5, b = 6

• 

  a = 9, b = 8

Linki zewnętrzne

• Krzywa Lissajous (ang.) w encyklopedii MathWorld