Krzywa stożkowa

Krzywa stożkowa – zbiór punktów powstałych na przecięciu stożka (ściślej powierzchni stożkowej, której kierującą jest okrąg) i płaszczyzny. Krzywe stożkowe są nazywane inaczej krzywymi drugiego stopnia, gdyż można je w kartezjańskim układzie współrzędnych opisać równaniem algebraicznym drugiego stopnia względem obu zmiennych x i y.

Stożkowe są niezmiennikami przekształcenia rzutowego i stąd grają pewną rolę w geometrii rzutowej. Typ stożkowej może się przy tym zmieniać, stożkowe można w tym sensie uznać za rzuty okręgu na płaszczyznę.

Rodzaje krzywych stożkowych

Wyróżnia się następujące krzywe stożkowe, zależnie od kąta, jaki tworzy płaszczyzna przecinająca z osią stożka i jego tworzącą:

• W przypadku, gdy kąt pomiędzy płaszczyzną przecinającą a osią stożka jest większy od kąta między tworzącą a osią stożka, wówczas krzywą stożkową jest elipsa.

• Szczególnym przypadkiem elipsy jest okrąg, który powstaje, gdy wspomniany kąt jest prosty, czyli płaszczyzna tnąca jest prostopadła do osi stożka.

• Jeżeli kąt pomiędzy płaszczyzną tnącą a osią stożka jest równy kątowi pomiędzy osią stożka a jego tworzącą, czyli tworząca jest równoległa do płaszczyzny tnącej, to krzywą stożkową jest parabola.

• W szczególnym przypadku, gdy płaszczyzna tnąca pokrywa się z tworzącą, otrzymuje się prostą (parabola zdegenerowana).

• Jeżeli kąt pomiędzy płaszczyzną tnącą a osią stożka jest mniejszy od kąta pomiędzy osią stożka a jego tworzącą, to otrzymana stożkowa jest hiperbolą.

• Hiperbola powstaje również, gdy płaszczyzna tnąca jest równoległa do osi stożka, ale nie obejmuje tej osi. W szczególnym przypadku, gdy oś stożka jest zawarta w płaszczyźnie tnącej, otrzymuje się parę przecinających się prostych, będącą zdegenerowanym przypadkiem hiperboli.

Równanie

Wszystkie krzywe stożkowe można opisać równaniem we współrzędnych biegunowych:

$r={p \over {1+e \cos \varphi}}$

$r, \varphi$ - współrzędne punktu;
$e$ - mimośród krzywej, decydujący o jej kształcie:

• $0\le e<1$ – elipsa;

• $e=0$ – okrąg, szczególny przypadek elipsy;

• $e=1$ – parabola;
• $e>1$ – hiperbola.

$p$ - parametr, decydujący o kącie pomiędzy tworzącą a osią stożka.