Kumulanta

Kumulanta to pojęcie z zakresu teorii prawdopodobieństwa i statystyki.

Kumulantami κ_n rozkładu prawdopodobieństwa nazywamy wielkości spełniające własność:

$E\left(e^{tX}\right)=\exp\left(\sum_{n=1}^\infty\kappa_n t^n/n!\right)$

gdzie X jest zmienną losową, dla rozkładu prawdopodobieństwa której obliczane są kumulanty. Innymi słowy, $\frac{\kappa_n}{n!}$ jest n-tym współczynnikiem w rozwinięciu w szereg potęgowy logarytmu funkcji generującej momenty. Logarytm funkcji generującej momenty nazywany jest funkcją generującą kumulanty.

Problem kumulant to próba uzyskania funkcji gęstości rozkładu prawdopodobieństwa z jego ciągu kumulant. W niektórych przypadkach rozwiązanie problemu nie istnieje, w niektórych istnieje dokładnie jedno rozwiązanie, w niektórych więcej niż jedno rozwiązanie.

Niektóre własności kumulant

Niezmienniczość

Zachodzą następujące własności:

• $\kappa_1(X + c) = \kappa_1(X) + c\,$
• $\kappa_n(X + c) = \kappa_n(X)\,$ dla n ≥ 2

gdzie c jest stałą.

Oznacza to, że stałą dodajemy tylko do pierwszej kumulanty, wyższe kumulanty pozostają niezmienione.

Homogeniczność

Kumulanty są homogeniczne stopnia n, to znaczy:

$\kappa_n(cX) = c^n\kappa(X)\,$

Addytywność

Jeśli X i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi, zachodzi:

$\kappa_n(X + Y) = \kappa_n(X) + \kappa_n(Y)\,$

Kumulanty i momenty

Kumulanty są powiązane z momentami następującą zależnością:

$\kappa_n=m_n-\sum_{k=1}^{n-1}{n-1 \choose k-1}\kappa_k m_{n-k}.$

n-ty moment zwykły m_n jest wielomianem n-tego stopnia w pierwszych n kumulantach, zatem:

$m_1=\kappa_1\,$

$m_2=\kappa_2+\kappa_1^2$

$m_3=\kappa_3+3\kappa_2\kappa_1+\kappa_1^3$

$m_4 =\kappa_4+4\kappa_3\kappa_1+3\kappa_2^2+6\kappa_2\kappa_1^2+\kappa_1^4$

$m_5=\kappa_5+5\kappa_4\kappa_1+10\kappa_3\kappa_2 +10\kappa_3\kappa_1^2+15\kappa_2^2\kappa_1 +10\kappa_2\kappa_1^3+\kappa_1^5$

$m_6=\kappa_6+6\kappa_5\kappa_1+15\kappa_4\kappa_2+15\kappa_4\kappa_1^2 +10\kappa_3^2+60\kappa_3\kappa_2\kappa_1+20\kappa_3\kappa_1^3+15\kappa_2^3 +45\kappa_2^2\kappa_1^2+15\kappa_2\kappa_1^4+\kappa_1^6$

Aby uzyskać wzory na zależność kumulant od momentów centralnych, należy we wszystkich wzorach opuścić składniki, gdzie κ₁ występuje jako czynnik.

Kumulanty i podział zbioru

Kumulanty mają ciekawą interpretację kombinatoryczną: współczynniki definiują określone podziały zbioru. Ogólna postać tych wielomianów to:

$m_n=\sum_{\pi}\prod_{B\in\pi}\kappa_{\left|B\right|}$

gdzie:

• π przebiega przez wszystkie podziały zbioru n-elementowego
• "$B \isin \pi$" jest jednym z bloków, na które zbiór jest podzielony
• |B| jest liczebnością zbioru B

Każdy jednomian to stała pomnożona przez iloczyn kumulant, w których suma indeksów wynosi n (np. dla κ₃ κ₂² κ₁, suma indeksów wynosi 3 + 2 + 2 + 1 = 8, pojawia się ona w wielomianie, który wyraża ósmą kumulantę za pomocą ośmiu pierwszych kumulant). Podziałowi liczby całkowitej n odpowiadają poszczególne składniki. Współczynniki w każdym składniku to liczba podziałów n-elementowego zbioru, które łączą się w podziały n kiedy elementy zbioru stają się nierozróżnialne.

Kumulanty niektórych rozkładów prawdopodobieństwa

• Kumulanty rozkładu normalnego o średniej μ i odchyleniu standardowym σ wynoszą κ₁ = μ, κ₂ = σ² i κ_n = 0 dla n > 2.

• Wszystkie kumulanty rozkładu Poissona są równe wartości oczekiwanej tego rozkładu.

• Rozkład z danymi kumulantami może być przybliżony ciągiem Grama-Charliera lub ciągiem Edgewortha.

Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu statystyki
• funkcja charakterystyczna (transformata Fouriera)
• funkcja tworząca momenty (transformata Laplace'a)
• funkcja tworząca prawdopodobieństwa (transformata Laurenta lub Z-transformata)
• moment zwykły, moment centralny