Kwadratury Gaussa

Kwadraturami Gaussa nazywamy metody całkowania numerycznego polegające na takim wyborze wag $w_1, w_2, \ldots, w_n$ i węzłów interpolacji $t_1, t_2, \ldots, t_n \in [a,b]$ aby wyrażenie

$\sum_{i=1}^n w_i f(t_i)$

najlepiej przybliżało całkę

$I(f) = \int\limits_a^b w(x) f(x) dx$

gdzie $f$ jest dowolną funkcją określoną na odcinku $[a,b]$ , a $w$ jest tzw. funkcją wagową spełniającą warunki

$w(x)\ge 0$ ,
$\forall_{k\in \mathbb{N}} \int\limits_a^b x^k w(x) dx$ jest skończona,
Jeżeli $p$ jest wielomianem takim, że $\forall_{x\in [a,b]}\;p(x)\ge 0$ , to jeśli $\int\limits_a^b w(x) p(x) dx=0$ , mamy wtedy $p\equiv0$ .

Określmy iloczyn skalarny z wagą

$\langle f,g \rangle_w = \int\limits_a^b w(x) f(x) g(x) dx.$

Powiemy, że dwa wielomiany są ortogonalne względem tego iloczynu skalarnego jeśli $\langle f,g \rangle_w =0$ .

Wszystkie kwadratury Gaussa wywodzą się z twierdzenia udowodnionego przez niego:

a) Jeżeli $t_1, t_2, \ldots, t_n \in [a,b]$ są pierwiastkami n-tego wielomianu ortogonalnego $p_n(x)$ oraz $w_1, w_2, \ldots, w_n$ są rozwiązaniami układu równań:

$\left\{ \begin{matrix} p_0(t_1)w_1 + & \ldots & + p_0(t_n)w_n= & <p_0,p_0>_w\\ p_1(t_1)w_1 + & \ldots & + p_1(t_n)w_n= & 0\\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ p_{n-1}(t_1)w_1 + & \ldots & + p_{n-1}(t_n)w_n= & 0\\ \end{matrix}\right.$

to dla każdego wielomianu $p$ stopnia nie większego niż 2n-1 zachodzi

$\int\limits_a^b w(x) p(x) dx = \sum_{i=1}^n w_i p(t_i).\qquad (*)$

Ponadto $w_i > 0$ .

b) Jeżeli dla pewnego ciągu węzłów $x_1, x_2, \ldots, x_n \in [a,b]$ oraz ciągu wag $v_1, v_2, \ldots, v_n$ dla dowolnego wielomianu $p$ stopnia nie większego niż 2n-1 zachodzi warunek (*), to $x_i=t_i$ oraz $v_i=w_i$ z dokładnością do kolejności.

c) Dla dowolnego ciągu węzłów $x_1, x_2, \ldots, x_n \in [a,b]$ oraz ciągu wag $v_1, v_2, \ldots, v_n$ nie istnieje wielomian stopnia 2n, dla którego nie zachodzi warunek (*).