Kwantyfikator ogólny

Kwantyfikator ogólny to kwantyfikator mówiący, że dane twierdzenie (funkcja zdaniowa) jest prawdziwe przy dowolnej wartości zmiennej.

Istnieją dwie formy zapisu kwantyfikatora ogólnego:

$\forall x : \phi(x)$ (odwrócona litera A; zapis ten jest związany z angielską formą „for all”)

oraz:

$\bigwedge _ x \phi(x)$.

Co czyta się „dla każdego $x$ zachodzi $\phi(x)$”. Używa się też uproszczonej notacji wyrażenia „dla każdego $x$ należącego do zbioru $\mathbb A$ zachodzi $\phi(x)$”. Mianowicie, zamiast:

$\forall x : (x \in \mathbb A \implies \phi(x))$

$\bigwedge _ x (x \in \mathbb A \implies \phi(x))$

można napisać:

$\forall x \in \mathbb A : \phi(x)$

$\bigwedge _ {x \in \mathbb A} \phi(x)$.

Jeżeli $X={x_0,x_1,\cdots ,x_n}$ stanowi podzbiór (niekoniecznie właściwy) argumentów $\!\phi (x)$ to:

$\forall x \in \mathbb X : \phi(x) \equiv \phi(x_0) \and \phi(x_1) \and \cdots \and \phi(x_n)$

Zanegowany kwantyfikator ogólny staje się kwantyfikatorem egzystencjalnym i na odwrót:

$\neg \forall x : \phi(x) = \exists x : \neg \phi(x)$

$\neg \exists x : \phi(x) = \forall x : \neg \phi(x).$

Generalnie, jeśli coś zachodzi „dla każdego $x$”, to istnieje takie $x$, że to zachodzi. Mamy więc implikację:

$\forall x : \phi(x) \implies \exists x : \phi(x)$.

Wyjątkiem są uniwersa puste, w których nie istnieje żaden obiekt. W takim wypadku dla każdego $x$ zachodzi cokolwiek - z fałszem włącznie - bo nie możemy przecież znaleźć żadnego $x$, dla którego można by wykazać sprzeczność. Z tego powodu zwykle z góry wyklucza się uniwersa puste i zakłada się, że „coś istnieje”.

Zobacz też

• kwantyfikator egzystencjalny
• lista symboli matematycznych