Lemat Fatou

Pierre Fatou

Lemat Fatou – lemat w analizie i teorii miary podający ograniczenie górne na wartość całki funkcji określonej jako granica dolna pewnego ciągu nieujemnych funkcji mierzalnych.

Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka, Pierre'a Fatou.

Lemat

• Załóżmy że:

(a) $(X,\mathcal{F},\mu)$ jest przestrzenią mierzalną z miarą,

(b) $f_n\colon X\longrightarrow [0,\infty]$ jest nieujemną funkcją całkowalną dla każdej liczby naturalnej n,

(c) $\liminf\limits_{n \to \infty} \int_X f_n\ d\mu<\infty$,

(d) funkcja $f\colon X\to {\mathbb R}\cup\{\infty\}$ jest zdefiniowana przez

$f(x)=\liminf\limits_{n \to \infty} f_n(x)$ dla $x\in X$.

Wówczas funkcja f jest całkowalna oraz

$\int_X f\ d\mu\leqslant \liminf\limits_{n \to \infty} \int_X f_n\ d\mu$.

• Czasami powyższy lemat formułuje się przy założeniu że funkcje $f_n$ są jedynie mierzalne oraz bez zakładania warunku (c), a z tezą postulującą jedynie mierzalność funkcji f i nierówność

$\int_X f\ d\mu\leqslant \liminf\limits_{n \to \infty} \int f_n\ d\mu$.

Dla mierzalnej nieujemnej funkcji g, niecałkowalność jest równoważna ze stwierdzeniem że

$\int_X g\ d\mu=\infty$.

Szkic dowodu w oparciu o twierdzenie Lebesgue'a o zbieżności monotonicznej

Załóżmy, że są spełnione warunki (a)-(d). Dla liczby naturalnej k i punktu x przestrzeni X, niech

$g_k(x)=\inf\{f_\ell(x)\colon \ell\geqslant k\}$.

Powyższy wzór definiuje funkcję g_k: X → [0, ∞]. Funkcja $g_k$ jest nieujemną funkcją mierzalną oraz

$g_k\leqslant f_k\$

dla wszystkich k. Wobec całkowalności funkcji $f_k$ można stwierdzić, że $g_k$ jest całkowalna oraz

$\int_X g_k\ d\mu\leqslant \int_X f_k\ d\mu$.

Ponadto,

$g_k\leqslant g_{k+1}$

dla każdego k oraz

$\lim\limits_{k\to\infty} g_k(x)=\liminf\limits_{n\to\infty}f_n(x)=f(x)$ dla wszystkich $x\in X$.

Na mocy twierdzenia Lebesgue'a o zbieżności monotonicznej możemy teraz stwierdzić, że funkcja f jest całkowalna oraz

$\int_X f\ d\mu = \lim\limits_{k \to \infty} \int_X g_k\ d\mu$.

Ponieważ

$\int_X g_k\ d\mu\leqslant \int_X f_k\ d\mu$

dla każdego k, to również

$\lim\limits_{k \to \infty} \int_X g_k\ d\mu\leqslant \liminf\limits_{k \to \infty} \int_X f_k\ d\mu$,

co kończy dowód.

Zastosowania

• Lemat Fatou jest używany w niektórych dowodach twierdzenie Lebesgue'a o zbieżności ograniczonej oraz zupełności przestrzeni $L^p\$.
• Używa się tego lematu również w teorii prawdopodobieństwa przy wyznaczaniu wartości oczekiwanych pewnych zmiennych losowych.

Zobacz też

• Całka Lebesgue'a,
• twierdzenie Fubiniego,
• twierdzenie Lebesgue'a o zbieżności monotonicznej,
• twierdzenie Lebesgue'a o zbieżności ograniczonej.